第三部分 思想方法(二)数形结合思想-【暑假总复习】2023年七年级初一数学暑假衔接期末复习（湘教版）

$' ! 思想方法!二" ! 数形结合思想 我国数学家华罗庚曾说过#'数形结合百般好! 隔裂分家万事休( ! '数(与'形(反映了事物的两个方 面的重要属性 ! 数形结合其实质就是将抽象的数学 语言"数量关系与直观图形"位置结合起来!实现代 数与几何图形之间的相互转化 ! 在中学数学中!数形结合主要有以下三种类型# 以'数(化'形("以'形(变'数(和'数('形(结合 ! 在应 用数形结合思想来分析和解决问题时!要始终抓住 '数(与'形(之间的关系!通过'以形助数(或'以数解 形(使复杂问题简单化!抽象的问题直观化!化难为 易!获得简便易行的解题方案 ! 一#数形结合思想在二元一次方程组中的应用 !例 ! " ! 如图是宽为 1-23 的长方形图案!它是 由 (- 个相同的小长方形拼成!求每个小长方形的长 和宽 ! !解析" ! 设小长方形的长为 "23 !宽为 # 23! 由题意得# "$, # ! "# # $1- $ ! 解得 "$,- ! # $(- $ ! 答#小长方形的长为 ,-23 !宽为 (-23! !方法规律总结" ! 抓住图形中反映的数量关 系#利用数形结合思想列方程组是解决此类问题的 关键 ! !变式练习 ! " ! 2九章算术3是我国东汉初年编 订的一部数学经典著作 ! 在它的&方程'一章里!一次 方程组是由算筹布置而成的 ! 2九章算术3中的算筹 图是竖排的!为看图方便!我们把它改为横排!如图 ( !图 %! 图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未 知数 " ! # 的系数与相应的常数项 ! 把图 ( 所示的算 筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来!就 是 &"#% # $(5 ! "#, # $%& $ ! 类似地!图 % 所示的算筹图我们可 以表述为 ! 二#数形结合思想在整式乘法中的应用 !例 " " ! 如图!给出了正方形 ()/0 的面积的 四个表达式!其中错误的是 " !! # !" " #% #" #% # !!! '" % #% % #%%" )" " *% #" *% # +" " #% # %# " #% # " !解析" ! 根据正方形的面积公式和分割法!可 求得正方形的面积为% "#% & % $" % #%%"#% % $ % "# % & %# % "#% & " !也可用排除法思考 ! 故选 )" !方法规律总结" ! 本题考查了整式乘法的完全 平方公式和正方形的面积#读懂题意#以形求式是解 答本题的关键 ! !变式练习 " " ! 如图!边长为 '#, 的正方形纸 片剪出一个边长为 ' 的正方形之后!剩余部分可剪 拼成一个长方形!若拼成的长方形一边长为 , !则另 一边长为 ! 三#数形结合思想在因式分解中的应用 !例 # " ! 在边长为 % 的正方形纸片中剪去一个 边长为 & 的小正方形" % & & #"如图 ( #!把余下的部分 沿虚线剪开!拼成一个长方形"如图 % #!分别计算这 两个图形阴影部分的面积!可以验证的公式是 ! $( ! !解析" ! 在图 ( 中!大正方形面积为 % % !小正方 形面积为 & % !所以阴影部分的面积为 % % *& % !在图 % 中!阴影部分为一长方形!长为 %#& !宽为 %*& !则 面积为% #& &% *& &!由于两个阴影部分面积相等! 所以有 % % *& % $ % #& &% *& &成立 ! 故答案为 % % * & % $ % #& &% *& &或% #& &% *& & $% % *& % ! !方法规律总结" ! 通过数形结合#利用几何图 形的面积把整式乘法与因式分解有机地联系起来# 能够加深理解因式分解与整式乘法的关系以及平方 差公式的几何意义 ! !变式练习 # " ! 如图!边长为" '#& #的正方形 纸片剪出一个边长为 ' 的正方形之后!剩余部分可剪 拼成一个长方形"不重叠无缝隙#!若拼成的长方形一边 长为 & !则另一边长是 " !! # !"'#& '"'#/ )"%'#& +"%'#/ 四#数形结合思想在相交线与平行线中的应用 !例 $ " ! 如图所示!直线 /0 * 12 ! , ($/18 ! , %$((18 !试猜想 12 与 () 的位置关系!并说明理 由 ! !解析" ! 12 * ()! 理由如下# 因为 /0 * 12 ! 所以 , &$ , %$((18! %两直线平行!同位角相 等& 又因为 , ($/18 ! 所以 , (# , &$/18#((18$(.-8 ! 所以 12 * ()! %同旁内角互补!两直线平行& !方法规律总结" ! 本题综合考查了平行线的性 质和判定#结合图形#注意题中出现的数值#将性质 与判定综合起来解决问题 ! !变式练习