第三部分 思想方法(一)数形结合思想-【暑假总复习】2023年七年级初一数学暑假衔接期末复习（人教版）

$" ! 第三部分 思想方法篇 思想方法"一# ! 数形结合思想 我国著名数学家华罗庚曾说过&(数形结合百般 好!隔裂分家万事休) ! (数)与(形)反映了事物两个 方面的属性 ! 数形结合就是把抽象的数学语言$数量 关系与直观的几何图形$位置关系结合起来!通过 (以形助数)或(以数解形)使复杂问题简单化!抽象 问题具体化!从而起到优化解题途径的目的 ! 一#数形结合思想在几何图形中的应用 !例 ! " ! 如图所示# " 是线段 /$ 的中点# # 为 线段 $" 的中点#若 $#+(:9 #求线段 /$ 的长 ! !解析" ! 因为 " 是线段 /$ 的中点!所以 /$+ "/"+"$"! 又因为 # 是线段 $" 的中点!所以 $" +"$#+"/(+1 # :9 % ! 所以 /$+"$"+"/1+ !. # :9 % ! !方法规律总结" ! 利用线段中点的定义得出 /$+($# 是解题的关键 ! 体现了对概念的理解能力 和对图形的分析能力$渗透着数形结合的思想方法 ! 二#数形结合思想在实数中的应用 !例 " " ! 在如图所示的数轴上#点 $ 与点 " 到点 / 的距离相等# / $ 两点对应的实数分别是槡&和5!# 则点 " 所对应的实数是 ! !! " 槡 槡#$!0 & %$"0 & 槡 槡'$" &5! )$" &0! !解析" ! 由点 $ 与点 " 到点 / 的距离相等!所 以 /$+/"! 由题意得 /$ 槡+ &0!!所以/" 槡+ &0 !! 所以 0"+0/0/" 槡+ &0#槡&0!% 槡+" &0!!故 点 " 对应的实数是 槡" &0!!故选)! !方法规律总结" ! 本题抓住实数与数轴上的点 一一对应关系$结合数轴的直观形象$确定数轴上点 所表示的数 ! 将两点之间的距离相等转化为线段长 度相等$然后根据线段间的和差关系求出 0" 的长 ! 三#数形结合思想在平面直角坐标系中的应用 !例 # " ! 如图所示#在 平面直角坐标系中#已知点 / ! 5& # 5! "# $ !# & "# " ! " # 5& "#你能求出三角形 /$" 的面积吗) !解析" ! 由于三边均不 平行于坐标轴!所以我们无 法直接求边长!也无法求高 ! 根据平面直角坐标系的 特点!可以将三角形围在一个梯形或长方形中!这个 梯形#长方形%的上下底#长%与其中一坐标轴平行! 高#宽%与另一坐标轴平行 ! 这样!梯形#长方形%的面 积容易求出!再减去围在梯形#长方形%内边缘部分 的直角三角形的面积!即可求得原三角形的面积 ! 解&如图!过点 / $ " 分别作平行于 6 轴的直线! 与过点 $ 平行于 5 轴的直线交于点 # $ % !则四边形 /#%" 为梯形 ! 因为 / # 5& ! 5! %! $ # ! ! & %! " # " ! 5& %! 所以 /#+( ! "%+. ! #$+( ! $%+! ! #%+*! 所以 ) /$" 的面积为! " # /#0"% % /#%5 ! " /#/#$5 ! " "%/$%+ ! " / # (0. % /*5 ! " /( /(5 ! " /./!+!(! !方法规律总结" ! 在平面直角坐标系中求图形 的面积$一般就是借助于平面直角坐标系的坐标轴 将要求的图形分割成一些规则的图形$例如直角三 角形%矩形%直角梯形%正方形等 ! 利用这些图形面积 的和%差求出面积即可 ! $# ! 四#数形结合思想在方程$组%以及不等式$组%中的 应用 !例 $ " ! 如图#在东北大 秧歌的踩高跷表演中#已知演 员身高是高跷长度的 " 倍#高 跷与腿重合部 分的长度为 "1:9 #演员踩在高跷上时#头 顶距离地面的高度为 ""(:9! 设演员身高为 5:9 #高跷的长度为 6 :9 #求 5 $ 6 的 值 ! !解析" ! 根据题意!得 " 6 +5 ! 6 055"1+""( * + , ! 解得 5+!.1 ! 6 +1( * + , ! 答&演员的身高为 !.1:9 !高跷的长度为 1(:9! !方法规律总结" ! 本题的等量关系隐含在图形 中 ! 需要同学们认真观察图形$根据图形找到其中的 等量关系$列出方程$从而求解 ! !例 % " ! 不等式组 "55! % * # " &55! " 0! 0 5 * + , # 的解集在数轴 上表示正确的是 ! !! " !解析" ! 解不等式 " !得 5 % & '解不等式 # !得 5 0 5!! 故原不等式组的解集为 5! / 5 % &! 故选 #$ !方法规律总结" ! 用数轴表示不等式组的解集 的方法'大于向右画$小于向左画$有等号用实心点$ 无等号用空心点 ! 五#数形结合思想在统计中的应用 !例