第三部分 思想方法(三)分类讨论思想-【暑假总复习】2023年七年级初一数学暑假衔接期末复习（人教版）

$( ! 思想方法"三# ! 分类讨论思想 当被研究的问题包含多种情形!不能一概而论 时!必须按可能出现的所有情形来分别讨论!得出各 种情形下相应的结论!这种处理问题的思维方法称 之为分类思想 ! 运用它可以克服思维的片面性!有效 地考查学生思维的全面性与严谨性 ! 一#分类讨论在实数中的应用 !例 ! " ! ( 的平方根是 ! !! " 槡#$"!!!%$"!!!'$6"!!! 槡)$6 " !解析" ! 平方与开方互为逆运算!因为# 6" % " +( !所以 ( 的平方根是 6"! 故选 '! !方法规律总结" ! 一个正数的平方根有两个$ 它们互为相反数 ! 二#分类讨论思想在角的计算中的应用 !例 " " ! 在直线 /$ 上任取一点 0 #过点 0 作射 线 0" # 0# #使 0" $ 0# #当 " /0"+&,- 时#求 " $0# 的度数 ! !解析" ! 根据题意画出图形!有两种情况& 如图 ! 所示! 30" $ 0# ! 4 " "0#+7,- ! 3 " /0"+&,- ! 4 " $0#+!1,-5 " /0"5 " "0#+!1,-5&,-57,-+.,- ' 图 ! ! 图 " 如图 " 所示! 30" $ 0# ! 4 " "0#+7,- ! 4 " /0#+ " "0#5 " /0"+7,-5&,-+.,- ! 4 " $0#+!1,-5 " /0#+!1,-5.,-+!",-! 即 " $0# 的度数是 .,- 或 !",-! !方法规律总结" ! 当题目没有明确给出射线的 位置或具体图形时$应该全面考虑$依据对条件下图 形的多样性进行分类讨论$避免漏解 ! 三#分类讨论思想在确定不等式组中参数的应用 !例 # " ! 若不等式组 5 ( &80" # 5 ( 8 . 0( 的解集是 5 ( 5! #则 8 的值是 ! !! " #$* !!! %$! !!! '$5* !!! )$5! !解析" ! 由于原不等式组的解集是 5 ( 5! !根 据不等式组解集的意义可知& 80" 与 80( 中某一 个的值应等于 5! !但 8 的值未确定!所以 &80" 与 80( 无法比较大小!因此!需进行分类求解 ! # ! %若 &80"+5! !即 8+5! 时!则 80(+& ! 那么不等式组的解集应是 5 ( & !这与已知相矛盾 ! 故 8 - 5!! # " %若 80(+5! !即 8+5* 时! &80" +5!& !这时不等式组的解集是 5 ( 5! !与已知相 符 ! 因此 8+5*! 故选 '! !方法规律总结" ! 求不等式!组"中的参数的取 值!范围"的常用方法是逆用不等式!组"的解集$但 是像本例这样$当不等式组中的各不等式都含有参 数时$则需分类讨论求解 ! 四#分类讨论思想在列方程组解应用题中的应用 !例 $ " ! 某厂家生产三种不同型号的电视机#出 厂价(甲种每台 !*,, 元#乙种每台 "!,, 元#丙种每台 "*,, 元 ! 某商场同时从该厂购进其中两种不同型号 的电视机共 *, 台#正好用去 7 万元#请你设计出几 种不同的进货方案#并说明理由 ! !解析" ! 商场同时购进其中两种不同型号的电 视机!应分三种情形!分别利用条件构造方程组解出 后进行检验!看是否符合实际意义 ! 具体解答如下& 设购进甲种电视机 5 台!乙种电视机 6 台!丙种 电视机 = 台 ! " 只购进甲$乙两种型号!根据条件有& 50 6 +*, ! !*,,50"!,, 6 +7,,,, . ! 解得 5+"* ! 6 +"* . ! # 只购进乙$丙两种型号!根据条件有& 6 0=+*, ! "!,, 6 0"*,,=+7,,,, . ! 解得 6 +12!* ! =+5&2!* . ! #舍去% $ 只购进甲$丙两种型号!根据条件有& 50=+*, ! !*,,50"*,,=+7,,,, . ! 解得 5+&* ! =+!* . ! 综上可知!有两种进货方案!方案一&购进甲种 电视机 "* 台!乙种电视机 "* 台'方案二&购进甲种 电视机 &* 台!丙种电视机 !* 台 ! !方法规律总结" ! 题目只说需(同时从该厂购 进其中两种不同型号的电视机共 *, 台)$而并没有 说是购进哪两种型号的电视机$这就意味着我们应 该通过分类讨论求解 ! $) ! !! 平方得! !. 的数是 ! !! " #$ ! ( %$5 ! ( '$ ! 1 )$ ! ( 或 5 ! ( "! 若 '( - , #则 ' ' 0 ( ( 的取值不可能是 ! !! " #$, %$! '$" )$5" #! 若不等式组 5 % "'5! # 5 % ' . 0& 的解集是 5 % 5" #则