(练习)24 核心素养提升(五) 巧解分式和分式方程-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(人教版)

核心素养提升(五) (巧解分式和分式方程) 小童爸爸的药店用4 000元购进若干包一次性医用口罩，很快售完了，小童爸爸又用7 500元钱购进第二批这种口罩，所进的包数比第一批多50%，并且每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元，小童想知道购进的第一批医用口罩有多少包，请你应用所学的知识帮小童解答． 解：设购进的第一批医用口罩有x包． 根据题意，得＋0.5＝， 解得x＝2 000. 经检验，x＝2 000是原分式方程的解，且符合题意． 答：购进的第一批医用口罩有2 000包． 　“建模思想”的应用 【角度1】　分式方程的实际应用 1．某工厂用A，B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运 20 kg，且A型机器人搬运1 200 kg所用时间与B型机器人搬运1 000 kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料． 【探究思路】　通过找到等量关系利用建模思想列出方程解答即可． 【自主解答】解：设A型机器人每小时搬运x kg原料，则B型机器人每小时搬运(x－20)kg原料． 根据题意，得＝，解得x＝120. 经检验，x＝120是原分式方程的解． ∴x－20＝120－20＝100. 答：A型机器人每小时搬运 120 kg 原料，B型机器人每小时搬运 100 kg 原料． 【角度2】　方案设计问题 2．某中学为了创设“书香校园”，准备购买A，B两种书架，用于放置图书．在购买时发现，A种书架的单价比B种书架的单价多20元，用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同． (1)求A，B两种书架的单价； (2)学校准备购买A，B两种书架共15个，且购买的总费用不超过1 400元，最多可以购买多少个A种书架？ 【探究思路】　分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键． 【自主解答】解：(1)设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为(x＋20)元．根据题意，得＝， 解得x＝80. 经检验，x＝80是原分式方程的解． ∴x＋20＝100. 答：A种书架的单价为100元，B种书架的单价为80元． (2)设准备购买m个A种书架．根据题意，得100m＋80(15－m)≤1 400，解得m≤10. 答：最多可购买10个A种书架． 　“多角度切入思想”在分式运算中的应用 【角度1】　整体代入思想 3．已知－＝3，求的值． 【探究思路】　将等式左边通分，并利用同分母分式的加减法法则变形得出关系式，将所求式子变形后整体代入计算即可求出值． 【自主解答】解：∵－＝3，∴＝3. ∴x－y＝－3xy. ∴＝ ＝＝＝. 【角度2】　利用倒数巧解 4．阅读理解： 例：已知实数x满足x＋＝4，求分式的值． 解：观察所求式子的特征，因为x≠0，我们可以先求出的倒数的值， 因为＝x＋3＋＝x＋＋3＝4＋3＝7， 所以＝. 活学活用： (1)已知实数a满足a＋＝－5，求分式的值； (2)已知实数x满足x＋＝9，求分式的值． 【探究思路】　原式变形为倒数的形式后，将已知等式代入计算即可求出值． 【自主解答】解：(1)∵a＋＝－5，∴＝3a＋5＋＝3＋5＝－15＋5＝－10. (2)∵x＋＝9， ∴x＋1≠0，即x≠－1. ∴x＋1＋＝10. ∵＝＝x＋1＋＋3＝10＋3＝13， ∴＝. 【角度3】　参数辅助，多元归一 5．已知＝＝≠0，求的值． 【探究思路】　设一个参数，将未知数用参数表示出来，达到化简求值的目的即可求解． 【自主解答】解：设x＝3k，则y＝4k，z＝5k，代入可得＝＝＝. 一、选择题 1．某市需要铺设一段全长为3 000 m的污水排放管道．为了尽量减少施工时对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工作效率比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务．设实际每天铺设 x m 管道，根据题意，所列方程正确的是(　B　) A．－＝30 B．－＝30 C．－＝30 D．－＝30 2．某体育用品商店出售羽毛球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买羽毛球，如果给每个人买一个羽毛球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个羽毛球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个羽毛球与按批发价购买50个羽毛球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得(　B　) A．50×＝×40 B．40×＝×50 C．40×＝×50 D．50×＝×40 3．甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做 280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件．设甲每天做x个零件，下列方程正确的是(　A　) A．＝ B．＝ C．＋＝130 D．－130＝ 4．用换元法解方程 ＋ ＝2时，若设 ＝y，则原方程可化为关于y的方程是(　A　) A．y2－2