(练习)19 核心素养提升(四) 整式的乘法与因式分解-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(人教版)

核心素养提升(四) (整式的乘法与因式分解) 如图，某市有一块长为(3a＋b)m，宽为(2a＋b)m的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，左右两边修两条宽为a m的道路(a＞0，b＞0)． (1)①试用含a，b的式子表示绿化的面积； ②假设阴影部分可以拼成一个长方形， 请你求出所拼长方形相邻两边的长；如果要使所拼长方形的面积最大，求a与b满足的关系式； (2)若a＝3，b＝2，求出绿化面积． 解：(1)①绿化的面积为 (3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2－a(3a＋b－a－b) ＝6a2＋5ab＋b2－a2－2ab－b2－2a2 ＝(3a2＋3ab)m2. ∴绿化的面积是(3a2＋3ab)m2. ②如图，∵3a2＋3ab＝3a(a＋b)， ∴所拼长方形相邻两边的长分别为3a m和(a＋b)m. ∴要使所拼长方形的面积最大，应有3a＝a＋b，∴2a＝b. (2)当a＝3，b＝2时，绿化面积是3a2＋3ab＝3×9＋3×3×2＝45(m2)． 　利用“数形结合思想”验证图形面积与乘法公式的关系 1．根据几何图形的面积关系可以形象直观地表示多项式的乘法，例如，(a＋b)(p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq可以用图1表示． 　 图1　　　　　　图2 (1)根据图2，写出一个多项式乘多项式的等式； (2)从A，B两题中任选一题作答． A．请画一个几何图形，表示(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，并仿照上图标明相应的字母． B．请画一个几何图形，表示(x－p)(x－q)＝x2－(p＋q)x＋pq，并仿照上图标明相应的字母． 【探究思路】　利用数形结合思想：(1)结合长方形的面积公式列式即可；(2)仿照图1的思路确定长方形的边长即可作答． 【自主解答】解：(1)(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2. (2)A.画出的图形如下． B．画出的图形如下． 　“多角度切入思想”在运算中的应用 【角度1】　交换位置，直接应用 2．计算：(y－2x)(2x＋y)． 【探究思路】　对比平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，发现题中的项的位置发生了变化，只需要重新进行排列即可按照公式进行计算． 【自主解答】解：原式＝(y－2x)(y＋2x) ＝y2－(2x)2＝y2－4x2. 【角度2】　变化符号，灵活应用 3．计算：(x＋y－3)(x－y＋3)． 【探究思路】　运用平方差公式计算时，抓住两数之和与两数之差这一特征，找出两数，然后运用公式计算． 【自主解答】解：原式＝[x＋(y－3)][x－(y－3)] ＝x2－(y－3)2 ＝x2－y2＋6y－9. 【角度3】　适当结合，分组应用 4．计算：－(x－2y＋3)(x－2y－3)． 【探究思路】　如果出现多数时，要找出相同的数当作一个整体数，然后运用公式计算． 【自主解答】解：原式＝－[(x－2y)＋3]·[(x－2y)－3]＝－[(x－2y)2－9] ＝－(x2－4xy＋4y2－9)＝－x2＋4xy－4y2＋9. 　利用“整体思想”分解因式 5．分解因式：(a2＋3a－3)(a2＋3a＋1)－5. 【探究思路】　解题时，若把注意力和着眼点放在问题的整体上，进行整体思考，考虑整体变形，能使问题迅速解决． 【自主解答】解：原式＝(a2＋3a)2－2(a2＋3a)－8 ＝(a2＋3a－4)(a2＋3a＋2) ＝(a＋4)(a－1)(a＋1)(a＋2)． 一、选择题 1．下列各式不能用平方差公式计算的是(　D　) A．(2x＋b)(2x－b) B．(2x＋b)(b－2x) C．(2x－b)(－2x－b) D．(2x＋b)(－2x－b) 2．如图的四边形均为长方形或正方形，下列等式能够正确表示该图形面积关系的是(　A　) A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 B．(a＋b)2＝a2＋2ab－b2 C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D．(a－b)2＝a2－2ab－b2 3．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，从图形的面积关系得到的数学公式是(　A　) 　 甲 　　　　　　乙 A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D．a2－ab＝a(a－b) 解析：题图甲图形的面积可以表示为(a＋b)(a－b)， 题图乙图形的面积可以表示为(a－b)b＋a(a－b)， ∵左边图形的面积等于右边图形的面积， ∴(a＋b)(a－b)＝(a－b)b＋a(a－b)， 即(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 4．一次课堂练习，一位同学做了4道分解因式题，你认为这位同学做得不够完整的题是(　D　) A．x2－2xy＋y2＝(x－y)2 B．x2y－xy2＝xy(x－y) C．x2－y2＝(x＋y)(x－y)