(练习)9 核心素养提升(二) 与三角形全等有关的计算-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(人教版)

核心素养提升(二) (与三角形全等有关的计算) 某设计人员遇到问题：如图，公路上A，B两站相距 25 km，C，D为两所学校，DA⊥AB 于点A，CB⊥AB 于点B，已知 DA＝15 km，现在要在公路 AB 上建一报亭H，若C，D两所学校到报亭H 的距离相等，且 ∠DHC＝90°，则报亭H建在距离A站多远处？学校C到公路的距离是多少千米？你能用所学三角形全等的知识解决这一问题吗？ 解：∵∠DHC＝90°， ∴∠AHD＋∠CHB＝90°. ∵DA⊥AB， ∴∠D＋∠AHD＝90°. ∴∠D＝∠CHB. 在△ADH和△BHC中， ∴△ADH≌△BHC(AAS)． ∴AD＝BH＝15 km. ∵AB＝25 km. ∴BC＝AH＝AB－BH＝25－15＝10(km)． ∴报亭H应建在距离A站10 km处，学校C到公路的距离是10 km. 　实际问题转化为三角形全等的数学问题 1．如图，李医生在由A处步行到B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面围栏上的横幅，已知AB∥CD∥OH，且相邻两条平行线间的距离相等，AC与BD相交于点O，OD⊥CD，若AB＝5 m，则横幅CD的长度是多少？ 【探究思路】　首先将实际问题转化为三角形全等的数学问题，利用平行线的性质，根据ASA判定定理证明三角形全等，最后利用全等三角形的性质得出结果． 【自主解答】解：∵BD⊥CD，AB∥CD， ∴BD⊥AB. ∴∠ABO＝∠CDO＝90°. ∵相邻两条平行线间的距离相等， ∴OB＝OD. 在△ABO和△CDO中， ∴△ABO≌△CDO(ASA)． ∴CD＝AB＝5 m. ∴横幅CD的长度是5 m. 　应用“多条件切入思想”解决三角形全等问题 【角度1】　已知两边相等 2．如图，AD＝CB，DF＝BE，AE＝CF.求证：△ADF≌△CBE. 【探究思路】　当已知两个三角形中有两边对应相等时，可通过寻找夹角相等或者第三边相等(利用SAS或者SSS)来证明三角形全等． 【自主解答】证明：∵AE＝CF， ∴AE－EF＝CF－EF， ∴AF＝CE. 在△ADF和△CBE中， ∴△ADF≌△CBE(SSS)． 【角度2】　已知一边一角相等 3．如图，CA＝CD，∠A＝∠D，∠1＝∠2.求证：BC＝EC. 【探究思路】　当已知两个三角形中有一边和一角对应相等时，可通过寻找另一角对应相等或者找夹角的另一边对应相等(利用AAS，ASA或者SAS)来证明三角形全等． 【自主解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠ECA＝∠2＋∠ECA， 即∠ACB＝∠DCE. 在△ABC和△DEC中， ∴△ABC≌△DEC(ASA)． ∴BC＝EC. 【角度3】　已知两角相等 4．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD，BE交于点O，∠1＝∠2.求证：OB＝OC. 【探究思路】　当已知两个三角形中有两角对应相等时，可通过寻找夹边对应相等或者找一角的对边对应相等(利用ASA或者AAS)来证明三角形全等． 【自主解答】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠ADO＝∠AEO＝90°，∠BDO＝∠CEO＝90°. 在△ADO和△AEO中， ∴△ADO≌△AEO(AAS)． ∴DO＝EO. 在△BDO和△CEO中， ∴△BDO≌△CEO(ASA)． ∴OB＝OC. 【角度4】　已知直角三角形的一边相等 5．如图，AB⊥AC，BD⊥DC，AC＝DB，AC，DB相交于点O.求证：AB＝DC. 【探究思路】　当已知两直角三角形中有一边对应相等时，可通过寻找另一边对应相等或者找一锐角对应相等(利用HL，SAS或者ASA，AAS)来证明三角形全等． 【自主解答】证明：∵AB⊥AC，BD⊥DC， ∴∠A＝∠D＝90°. 在Rt△ABC和Rt△DCB中， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)． ∴AB＝DC. 一、选择题 1．要测量河两岸相对的两点A，B 的距离，先在 AB 的垂线 BF 上取C，D两点，使 CD＝BC，再作出 BF 的垂线 DE，使 A，C，E 在同一条直线上(如图)，可以说明 △EDC≌△ABC，得 ED＝AB，因此测得 ED 的长就是 AB 的长．判定 △EDC≌△ABC 最恰当的理由是(　B　) A．SAS B．ASA C．SSS D．HL 2．花花不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块(图中所标①②③④)，若要配一块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带(　B　) A．① B．② C．③ D．④ 3．如图，BC＝EC，AC＝DC，要判定△ABC≌△DEC，则应该添加的条件是(　A　) A．∠BCE＝∠ACD B．∠BCE＝∠ACE C．∠A＝∠D D．∠B＝∠E 解析：∵∠BCE＝∠ACD， ∴∠ACD＋∠ACE＝∠BCE＋∠ACE， 即∠ACB＝∠DCE. 由“SAS”可