(教参)第14章 14.2 阶段任务性复习 乘法公式的应用-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(人教版)

乘法公式的应用 问题：完成下面的1～5题，体会乘法公式的应用． 1．将9.52变形正确的是(　B　) A．9.52＝92＋0.52　 B．9.52＝102－2×10×0.5＋0.52　 C．9.52＝(10＋0.5)(10－0.5)　 D．9.52＝92＋9×0.5＋0.52 解析：9.52＝(10－0.5)2＝102－2×10×0.5＋0.52. 2．下列各式，能用平方差公式计算的是(　B　) A．(a－2b)(－a＋2b) B．(a－2b)(－a－2b) C．(a－1)(a＋2) D．(a－2b)(2a＋b) 解析：(a－2b)(－a＋2b)＝－(a－2b)(a－2b)＝－(a－2b)2，不符合平方差公式，不能用平方差公式进行计算，故A选项不符合题意； (a－2b)(－a－2b)＝－(a－2b)(a＋2b)，符合平方差公式，故B选项符合题意； C，D选项不符合平方差公式，故不符合题意． 3．下列计算正确的是(　C　) A．(x＋2y)(x－2y)＝x2－2y2　 B．(x－y)(－x－y)＝－x2－y2　 C．(x－y)2＝x2－2xy＋y2 D．(x＋y)2＝x2＋y2 解析：(x＋2y)(x－2y)＝x2－4y2，故A选项不符合题意； (x－y)(－x－y)＝y2－x2，故B选项不符合题意； (x－y)2＝x2－2xy＋y2，故C选项符合题意； (x＋y)2＝x2＋2xy＋y2，故D选项不符合题意． 4．计算：(x＋3)2－(x＋3)(x－3)． 解：原式＝x2＋6x＋9－(x2－9) ＝x2＋6x＋9－x2＋9 ＝6x＋18. 5．已知x2－4x－3＝0，求代数式(2x－3)2＋(2＋x)(2－x)的值． 解：(2x－3)2＋(2＋x)(2－x) ＝4x2－12x＋9＋4－x2 ＝3x2－12x＋13 ＝3(x2－4x)＋13. ∵x2－4x－3＝0， ∴x2－4x＝3. 当x2－4x＝3时，原式＝3×3＋13＝22. 应用1　直接用 进行整式的混合运算时，当存在两数和或差的平方、两数平方的和或差的形式时，要灵活应用完全平方公式、平方差公式进行计算． 【例1】化简：(2x＋y)2－(2x＋y)(2x－y)． 解：原式＝4x2＋4xy＋y2－4x2＋y2 ＝4xy＋2y2. 【练习】 1．计算：(4x＋3y)(3y－4x)－(4x＋3y)2. 解：(4x＋3y)(3y－4x)－(4x＋3y)2 ＝9y2－16x2－16x2－24xy－9y2 ＝－32x2－24xy. 2．某同学化简(a＋2b)2－(a＋b)(a－b)的解题过程如下： 解：原式＝a2＋4b2－(a2－b2)(第一步) ＝a2＋4b2－a2－b2(第二步) ＝3b2.(第三步) (1)该同学的解答过程从第　一　步开始出现错误； (2)请写出此题正确的解答过程．并求出当a＝－，b＝2时，原代数式的值． 解：(2)正确解答： 原式＝a2＋4ab＋4b2－(a2－b2) ＝a2＋4ab＋4b2－a2＋b2 ＝4ab＋5b2， 当a＝－，b＝2时， 原式＝4××2＋5×22＝－4＋20＝16. 应用2　逆用 当整式中的某些项可以转化为完全平方或平方差的形式时，往往可以通过逆用完全平方公式、平方差公式进行化简计算． 【例2】计算： ·…·. 解：原式＝ ·…· ＝××××…×××× ＝. 【练习】 1．若m－3n＝2，则m2－6mn＋9n2的值是　4　. 解析：∵m－3n＝2，∴m2－6mn＋9n2＝(m－3n)2＝22＝4. 2．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：8＝32－12,16＝52－32,24＝72－52，则8,16,24这三个数都是奇特数． (1)32和2 022这两个数是奇特数吗？若是，表示成两个连续奇数的平方差形式． (2)设两个连续奇数是2n－1和2n＋1(其中n取正整数)，由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？ 解：(1)32是奇特数，32＝92－72； 2 022不是奇特数． (2)两个连续奇数是2n－1和2n＋1(其中n取正整数)，由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数．理由如下： ∵(2n＋1)2－(2n－1)2 ＝[(2n＋1)＋(2n－1)][(2n＋1)－(2n－1)] ＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1) ＝4n×2 ＝8n. ∵n为正整数， ∴8n是8的倍数， 即两个连续奇数是2n－1和2n＋1(其中n取正整数)，由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数． 应用3　凑着用 表面上，它不符合任何公式的特点，但通过添括号可把式子凑成平方差公式或完全平方公式的“模样”，这样就可应用公式计算了． 【例3】计算：(p＋2q－3)(p－2q＋3)． 解：原式＝[p＋(2q－