(教参)第13章 13.4 课题学习 最短路径问题-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(人教版)

13.4　课题学习　最短路径问题 学习目标 1．能运用“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”探索最短路径问题. 2．能运用“三角形两边之和大于第三边”说明关于最短路径的选址问题的道理．会运用图形的轴对称、平移等变换转化图形，进而利用数学模型解决实际问题. 素养目标 通过最短路径问题的探索，培养学生数学建模及数学应用的思想及逻辑推理的核心素养. 一、最短路径问题 (1)直线异侧的两点到直线上一点的距离的和最小的问题 如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找一点C，使CA＋CB的值最小，这时点C就是线段AB与直线l的 交点 ． (2)直线同侧的两点到直线上一点的距离的和最小的问题 如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在直线l上找一点C，使CA＋CB的值最小，这时先作点B关于直线l的 对称点B′ ，连接 AB′ 交直线l于点C(也可以作点A关于直线l的 对称点A′ ，连接 A′B 交直线l于点C)，此时点C就是所求作的点． 想一想 这样作图的依据是什么？ 解：两点之间，线段最短． 如图，A，B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取一点P建一个服务中心，使PA＋PB的长度最短．下面四种选址方案符合要求的是(　A　) A　　　　　　B C　　　　　　D 二、选址建桥问题 (1)解决“选址建桥”问题，一般用平移的方法，利用平移前后的对应线段相等，把未知的线段转换到一条直线上，再结合“ 两点之间，线段最短 ”解决问题． (2)“选址建桥”的根本问题就是通过平移变换，按与河 垂直 的方向，平移桥使除桥外的其他路径平移后在 一条直线 上． 如图，从A地到B地要经过一条小河(河的两岸平行)，现要在河上建一座桥 (桥垂直于河的两岸)，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？ 解：(1)如图，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽． (2)连接BC，与河岸GH相交于点N，过点N作NM⊥EF于点M，则MN为应建桥的位置． 　“将军饮马问题”的应用 古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸一侧的两个军营A，B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图1，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 理由：如图3，在直线l上取不同于点C的点C′，连接AC′，BC′，B′C′. ∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在直线l上． ∴CB＝CB′，C′B＝C′B′， ∴AC＋CB＝AC＋CB′＝AB′. 在△AC′B′中，∵AB′＜AC′＋C′B′， ∴AC＋CB＜AC′＋C′B. 即AC＋CB最小． 探究1: 如图，在直线AB的一侧有C，D两点，在AB上找一点P，使C，D，P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由； 解：如图，作点C关于直线AB的对称点C′， 连接C′D交AB于点P.则点P就是所要求作的点．理由如下： 在AB上取不同于点P的点P′，连接CP′，DP′，C′P′. ∵点C和点C′关于直线AB对称， ∴PC＝PC′，P′C＝P′C′， 而C′P＋DP＜C′P′＋DP′， ∴PC＋DP＜CP′＋DP′， ∴CD＋CP＋DP＜CD＋CP′＋DP′， 即当C′，P，D三点共线时，此时C，D，P三点组成的三角形的周长最短． 探究2: 如图，在∠AOB内部有一点P，是否在OA，OB上分别存在点E，F，使得E，F，P三点组成的三角形的周长最短．若存在请找出E，F两点，并说明理由； 解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于点E，交OB于点F，则点E，F就是所要求作的点．理由如下： 连接PC，PD，在OA，OB上分别取不同于点E，F的点E′，F′， 连接CE′，E′P，PF′，DF′，E′F′， ∵点C和点P关于直线OA对称，点D和点P关于直线OB对称， ∴PE＝CE，CE′＝PE′，PF＝DF，PF′＝DF′， ∴PE＋EF＋PF＝CE＋EF＋DF，PE′＋PF′＋E′F′＝CE′＋E′F′＋DF′. ∵CE＋EF＋DF＜CE′＋E′F′＋DF′， ∴PE＋EF＋PF＜PE′＋E′F′＋PF′. ∴所求作的E，F两点，即为使E，F，P三点组成的三角形的周长最短的点． 探究3: 如图，在∠AOB内部有两点M，N，是否在OA，OB上分别存在点E，F，使得E，F，M，N四点组成的四边形的周长最短．若存在找出E，F两点，并说明理由． 解：如图，作点M关于OA的对称点C，作点N关于OB的对称点D，连接CD，交OA于点E，交OB于点F