第二部分 专题复习(四)图形变换的应用-【暑假总复习】2023年七年级初一数学暑假衔接期末复习（华东师大版）

#" ! 专题复习"四# ! 图形变换的应用 轴对称$平移与旋转是图形的三种基本变换#在 我们的实际生产和生活中#经常能看到这三种图形 变换现象 ! 探究和掌握这些图形变换的基本特征是 我们学习的重点#运用轴对称$平移与旋转变换的基 本特征解决问题或进行图案设计既是重点也是难 点 ! 在解决相关问题时#要善于观察和动手操作 ! 考点 " ! 轴对称的应用 !例 " " ! 如图 ) ! , & - 两村在一条小河 4 的同 侧!今要在河边 4 的某一处建一供水站用管道直接 向 , & - 两村供水!若要使供水站到 , & - 两村铺设的 管道最短!供水站应建在什么位置+ !解析" ! 假设供水站应建在河边 4 的 0 处#要 使供水站到 , $ - 两村铺设的管道最短#即要使 ,0 --0 的和最小#这是基本作图题 ! ! ) "作出点 , 关于直线 4 的对称点 7 ) ! # "连接 -7 #交 4 于点 0 !如图 # "#点 0 就是供 水站应修建的位置 ! 因为根据对称性# ,0--0&70--0&-7 #如果 另选一点 0 ) #根据%两点之间线段最短&的原理可知 0 ) ,-0 ) -&0 ) 7-0 ) - ' -7 #所以 ,0--0 最小 ! !例 # " ! 如图 ) !甲&乙&丙&丁四人做接力游戏 ! 甲站在长方形操场 ,-./ 内部的 2 点处!丙站在 -. 的中点 : 处!乙&丁分别站在 ,- ! ./ 边上 ! 游戏 规则是$甲将接力棒传给乙!乙传给丙!丙传给丁!最 后丁又跑回传给甲 ! 如果他们四人的速度相同!试找 出乙&丁站在何处!他们的比赛所用时间最短+ !解析" ! 由于四人的速度都相同#要使他们所 用的时间最短#所以也就是使四人所跑的路程之和 最短 ! 于是#根据对称性#可设计如图 # 所示的接力 路线' ! ) "作点 2 关于 ,- # ./ 的对称点 2 ) # 2 # ) ! # "连接 :2 ) # :2 # #分别交 ,- # ./ 于点 5 # @ ) 所以#乙站在 5 处#丁站在 @ 处!四人的接力路 线是 2 2 5 2 : 2 @ 2 2 "可使四人所跑的路程之和 最短!最短路程为 2 ) :-2 # : 的长"#从而使比赛所 用时间最短 ! !方法规律总结" ! 凡涉及几个定点到定直线上 某点的距离和最短的问题时%均需考虑根据轴对称 性质%以定直线为对称轴%作出定点的对称点%以其 代替原来的点来解决问题 ! 考点 # ! 平移的应用 !例 $ " ! 如图 ) ! , 和 - 两地在一条河的两岸! 现要在河上造一座桥 79 !桥造在何处才能使从 , 到 - 的路径最短+ "假定河的两岸是平行的直线!桥 要与河垂直# !解析" ! 这是著名的造桥选址问题的解答 ! 假 设我们把河视为没有宽度的直线#把桥视为一个点# 那么桥应建在何处才能使 , 到 - 的路径最短呢* 根据%两点之间#线段最短&#显然#只需连接 ,- # ,- 与河 4 的交点 0 就是桥所在的位置 ! 受此启发#我们 可以利用平移知识进行解答如下' 将点 , 沿垂直河岸的方向平移到 ,1 #使 ,,1 等 于河宽#连接 ,1- #与河岸线 4 # 交与点 9 #点 9 就是 桥的一端!点"#过点 9 作 79 . 4 ) #交 4 ) 于 7 # 79 就是造桥的位置#如图 #! !方法规律总结" ! 此题的解答是将点 , 平移至 点 ,1 的位置%将 ,7 平移至 ,19 的位置 ! 对于 , 3 7 3 9 3 - 为最短路径的正确性%同学们可在 4 ) 上 另取一点 71 %作 7191 . 4 # 于点 91 %连接 ,71 % ,191 % -91 %利用'两点之间%线段最短(予以说明 ! ## ! 考点 $ ! 旋转的应用 !例 % " ! 如图 ) 所示!设点 6 是等边 + ,-. 内 一点!已知 , ,6-&))'7 ! , -6.&)#'7 !求以线段 6, ! 6- ! 6. 为边所构成的三角形的各内角 ! !解析" ! 乍看此题仿佛无处着手#但仔细琢磨# 若以 - 为旋转中心#将 + -6, 逆时针方向旋转 .17 # 则点 , 落在点 . 处#点 6 落在点 / 处#连接 6/ #即 可构造出以 6, # 6- # 6. 为边的三角形#再结合相关 条件即可求解 ! 具体解答如下' 以 - 为旋转中心#将 + -6, 逆时针方向旋转 .17 #由于 -,&-. #则 -, 与 -. 重合#连接 6/! 因为 -6&-/ # , 6-/&.17 # 所以 + -6/ 是等边三角形 ! 即 6/&6-! 又因为 ./&6, #所以 + .6/ 是以 6, # 6- # 6. 为边