第三部分 思想方法(一)数形结合思想-【暑假总复习】2023年七年级初一数学暑假衔接期末复习（沪科版）

$$ ! 第三部分 思想方法篇 思想方法"一# ! 数形结合思想 数形结合思想方法是指在研究问题的过程中" 把数和形结合起来分析问题的思想方法 ! 数形结合 在数学中占有非常重要的地位"其实质是将抽象的 数学语言与直观的图形结合起来"它可以借助于数 的精确性来阐明形的某些属性"或者借助形的几何 直观性来阐明数之间的某种关系"即数形结合包括 两个方面)一是以数解形%二是以形助数 ! 一!数形结合思想在实数中的应用 "例 " # ! 在如图所示的数轴上#点 + 与点 , 位 于点 * 的两侧#且到点 * 的距离相等# * # + 两点对 应的实数分别是槡'和/"#则点,所对应的实数是 ! !! " 槡 槡#$"1 ' &$01 ' 槡 槡($0 '/" *$0 '1" "解析# ! 由点 + 与点 , 到点 * 的距离相等"所 以 *+2*,! 因为 9* 槡2 '"9+2""所以*+ 槡2 '1 " "所以 *, 槡2 '1""所以9,29*1*, 槡 槡2 '1 '1 槡"20 '1""所以点,对应的数是 槡0 '1"!故选*$ "方法规律总结# ! 本题抓住实数与数轴上的点 一一对应$结合数轴$确定出点 * 是 +, 的中点$根 据线段间的和差关系求出 9, 的长 ! 这种数形结合 思想在数学解题中应用非常广泛$熟练掌握该方法 可以为解题带来方便 ! 二!数形结合思想在不等式%组&中的应用 "例 # # ! 若关于 $ 的不等式组 $/" & + # '/0$ $ , /" 的 整数解共有 - 个#则 " 的取值范围是 ! "解析# ! 原不等式组可以化简为 $ & " " $ # 0 , ! 又因为 原不等式组有解"故 " # 0 "根据原不等式组有 - 个整 数解"借助数轴表示#如图$"即该不等式组的 - 个整 数解必为 " " + " /" " /0 " /'! 故表示 " 的点一目了 然"只能落在 /' 与 /, 对应点之间或在 /' 对应点 处"所以 /, # " ' /'! "方法规律总结# ! 本例借助数轴$对不等式组 的解集进行直观分析$使问题得以一目了然$这也是 数形结合的一个重要应用 ! 三!数形结合思想在整式乘法%或因式分解&中的应 用 "例 $ # ! 图甲是一个长为 0- +宽为 0. 的长方 形#沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形#然后按 图乙的形状拼成一个正方形 ! ! " "你认为图乙中的阴影部分的正方形的边长 等于多少( ! 0 "观察图乙#你能写出下列三个代数式之间的 等量关系吗( 代数式$! -1. " 0 #! -/. " 0 # -.! "解析# ! 结合图形"仔细体会# -1. $ 0 "# -/. $ 0 " -. 表示的几何意义"就能顺利理清三者之间的等量关 系 ! 故# " $阴影部分正方形边长为# -/. $%# 0 $根据图中 阴影部分#小正方形$的面积的两种表示方法即可得到) # -/. $ 0 2 # -1. $ 0 /,-.! "方法规律总结# ! 本例利用几何图形的性质研 究数量关系$进而寻求出问题的解决办法$这种)以 $% ! 形助数*是数形结合思想的典型应用 ! 四!数形结合思想在相交线中的应用 "例 % # ! 如图#如果 0 *9,2 0$< # 0 +9,2 ! $1 % 1% " < # 0 +97 2 ! % 1, " < #则 0 *97 的度数为 ! "解析# ! 由对顶角及邻补角的性质"有 0 *9, 1 0 +9,2"!+< " 0 *9,2 0 +97 "从而可得方程组 0$2 % 1, " '$1 % 1%2"!+ , " 解得 $2'- " % 2.. , " 所以 0 *9,23+< " 0 *972"!+</3+<2""+<! "方法规律总结# ! 本题通过列方程组$将几何 问题转化为方程组的问题进行解决$这种)以数解 形*是数形结合思想的主要应用 ! "! 如图# * # + 两点在数轴上表示的数分别为 " ##下 列式子成立的是 ! !! " #$"# $ + &$"1# # + ($ ! #/" "! "1" " $ + *$ ! #/" "! "/" " $ + #! 不等式组 0$/" # - # '$/" 0 1" & ( ) * $ 的解集在数轴上表示正 确的是 ! !! " $! 若关于 $ 的不等式组 $/- # + # 3/0$ ' , " 的整数解共有 , 个#则 - 的取值范围是 ! !! " #$. # - # 3 &$. ' - # 3 ($. ' - ' 3 *$. # - ' 3 %! 如图是三种不同类型的地砖#若现有地砖 * 类 , 块# + 类 , 块# , 类 0 块#小明要拼成一个正方形#