第三部分 思想方法(三)整体思想-【暑假总复习】2023年七年级初一数学暑假衔接期末复习（沪科版）

%* ! 思想方法"三# ! 整体思想 整体思想就是在解决数学问题时"将要解决的 问题看作一个整体"通过对问题的整体形式!整体结 构!已知条件和所求综合考虑后"得出结论 ! 整体思 想使用得恰当"能提高解题效率和能力"减少不必要 的计算"少走弯路 ! 因而在处理数与式的运算!方程! 几何计算等方面有着广泛应用"是初中数学学习中 的重要思想方法 ! 一!整体思想在整式乘法中的应用 "例 " # ! 若 $/ % 槡2 0/"#$% 槡2 0#则代数式!$ /" "! % 1" "的值等于 ! !! " 槡#$0 010!!!!!!! 槡&$0 0/0 槡($0 0 *$0 "解析# ! 根据已知条件求出 $ " % 的值非常困 难"通过整式乘法将# $/" $# % 1" $转化为关于 $/ % 与 $ % 的代数式"再整体代入将使过程大大简化 ! # $/" $# % 1" $ 2$ % 1 # $/ % $ 槡 槡/"2 01 0/"/"2 槡0 0/0!故选&$ "方法规律总结# ! 本题利用整体思想求值的方 法值得借鉴 ! 同时$还应注意多项式乘以多项式的关 键是理解运算法则 ! 相乘时要按一定的顺序进行$通 常是选择多项式的第一项乘遍另一个多项式的每一 项$依此类推$再把所得的积相加 ! 二!整体思想在不等式%组&中的应用 "例 # # ! 若关于 $ # % 的二元一次方 程组 '$1 % 2"1" # !# $1' % 2' , $ 的解满足 $1 % # 0 #则 " 的取值 范围为 ! "解析# ! 本题的一般思路是先求出关于 $ " % 的 方程组的解"即用含 " 的代数式表示 $ " % "再用含 " 的代数式表示 $1 % "解有关 " 的不等式 ! 仔细观察" 本题可将# $1 % $看作一个整体使问题得以简便解 答 ! 即将 # 1 $ 得" ,$1, % 2,1" "故 $1 % 2 ,1" , 2 "1 " , # 0 "解得 " # ,! "方法规律总结# ! 本题抓住方程组的系数特 点$通过两式相加直接得出方程组的解与参数的关 系$再结合已知条件构建不等式求解$体现了整体思 想的运用 ! 三!整体思想在因式分解中的应用 "例 $ # ! 分解因式$! "1# " , /! ! "1# " 0 1".! "解析# ! 设# "1# $ 0 2- " 则原式 2- 0 /!-1".2 # -/, $ 0 2 *# "1# $ 0 /0 0 + 0 2 # "1#10 $ 0 # "1#/0 $ 0 ! "方法规律总结# ! 本题较复杂$但通过将! "1 # " 0看作一个整体进行思考$进而化为比较熟悉的完 全平方式$便不难解答了 ! 此种方法也叫做换元法 ! 四!整体思想在分式中的应用 "例 % # ! 已知 - 0 /--/"2+ #则 0- 0 /--1 " - 0 2 ! "解析# ! 目前知识还不能求解 - 的值"注意到 所求的代数式和条件中都含有 - 0 /-- "故可将条件 式变形为 - 0 /--2" "整体代入到求值的式子得) - 0 1 " - 0 1"! 而 - 0 1 " - 0 1"2 # -/ " - $ 0 1' "再将条 件式化为 -/ " - 2- 整体代入即可求解 ! 故填 0!! "方法规律总结# ! 本题两次应用整体思想$将 看似无从下手的问题变得简单明了 ! "! 已知 "/#2" #则 " 0 /# 0 /0# 的值为 ! !! " #$' &$0 ($" *$+ #! 如果! 0"10#1" "! 0"10#/" " 2.' #那么 "1# 的 值为 ! !! " #$, &$/, ($, 或 /, *$! $! 计算! 0-+1+!%1+!1+!3 " 0 / ! 0-+/+!%/+! /+!3 " 0的值为 ! !! " #$""$-0 &$0'$+, ($"0++ *$0,++ {#{QQABLYQAogCIAAJAAQBCQwHwCEMQkhCCCKgOwAAcsEIASBFABCA=}#} %! %! 已知 " 是方程 $ 0 1$/"2+ 的一个根#则 0 " 0 /" / " " 0 /" 的值为 ! !! " #$ 槡/"1 - 0 &$ 槡/") - 0 ($/" *$" &! 在方程组 0$1 % 2"/- # $10 % , 20 中#若未知数 $ # % 满足 $1 % $ + #则 - 的取值范围在数轴上表示应是 ! !! " !! 若 $ 0 /$/02+ #则01$/$ 0 槡10 ' ! $ 0 /$ " 0 /" 的值等于 ! !! " #$ 槡0 ' ' &$ 槡' ' 槡 槡($' *$'或 槡' ' '! 已知!