17.5 反证法（课件）-2023-2024学年冀教版八年级上学期数学

第十七章 特殊三角形 17.5 反证法 冀教版 八年级上册 1 01 环节一 情境导入 学习 过程 从前有个聪明的孩子叫王戎。他7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么，王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的呢? 他运用了怎样的推理方法? 王戎推理方法是: 假设“李子甜” 树在道边则李子少 与已知条件“树在道边而多子”产生矛盾 假设 “李子甜”不成立 所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的 02 环节二 探究新知 求证： 1.一个三角形中不可能有两个钝角 2.一个三角形中最多有一个直角 还有很多呢！谁能帮老师解决？ 证明：一个三角形中不可能有两个钝角 已知：∆ABC 求证：三角形中不可能有两个钝角 C B A 证明：假设∆ABC有两个钝角， 设∠A和∠B都是钝角。 ∵ ∠A+ ∠B ﹥180 ° ∴ ∠A+ ∠B+ ∠C ﹥180 ° 这与“三角形的内角和是180 °”相矛盾， 因此，三角形中可以有两个钝角的假设是不成立的，所以一个三角形中不可能有两个钝角。 C B A 反证法 1.先假设原命题结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后推出与学过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果。因此，假设是错误的，原结论是正确的.这种证明命题的方法叫做反证法。反证法是一种间接证明的方法。 2.反证法证明的一般步骤： 第一步，假设命题的结论不成立。 第二步，从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果。 第三步，由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的。 例1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 环节三 运用新知 已知:如图，只想AB ∥CD，直线EF分别于直线AB,CD交于点G,H,∠1和∠2是同位角。 求证： ∠1= ∠2。 1 2 F C M G E D N B 证明：假设∠1 ≠ ∠2。 过点G作直线MN，使得∠EGN= ∠1 . ∵ ∠EGN= ∠1 , ∴MN ∥CD（基本事实）。 又∵ AB ∥CD（已知） ∴过点G有两条不同的直线AB和MN都与直线CD平行， 这与“经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾。 ∴ ∠1 ≠ ∠2的假设是不成立的。 因此， ∠1= ∠2。 假设命题结论不成立 推理论证，得出矛盾 假设不成立，原命题结论成立 1 2 F C M G E D N B 例2 用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 已知：如图，在 △ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′ = 90°，AB=A′B′，AC=A′C′， 求证：△ABC≌△A′B′C′. 假设△ABC与△A′B′C′不全等，即BC≠B′C′. 不妨设BC＜B′C′.如图.在B′C′上截取连接A′D. 在△ABC和△A′B′C′中， ∵AC = A′C′，∠C = ∠C′，CB = C′D， ∴△ABC≌△A′DC′(SAS). ∴AB = A′D(全等三角形的对应边相等). ∴AB = A′B′ (已知)， ∴A′B′ = A′D(等量代换). ∴∠B′ = ∠A′DB′(等边对等角). 证明： ∴∠A′DB′ ＜90°(三角形的内角和定理)， 即∠C′＜∠A′DB′＜90°(三角形的外角大于和它不 相邻的内角). 这与∠C′＝90°相矛盾. 因此，BC≠B′C′的假设不成立， 即△ABC与△A′B′C′不全等的假设不成立. 所以，△ABC≌△A′B′C′. 环节四 课堂检测 1. 用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，a∥b”，第一步应假设(　　) A．a∥b B．a与b垂直 C．a与b不一定平行 D．a与b相交 D 2.填空：用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”。 证明：假设三角形的三个内角都大于60度， 即∠A 60°，∠B 60°, ∠C 60°, 则∠ A+∠B+ ∠C 180° 这与 相矛盾 ∴