(练习)20 微阶段指导(十二)-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(青岛版)

微阶段指导(十二) (范围：几何证明举例) 知识链接 知识速练 一、全等三角形证明举例 　证明两个角相等或两条线段相等时，可考察它们是否在给出的两个全等三角形中，如果不在，可以尝试通过添加辅助线，构造两个全等三角形的方法来实现． 1. 如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝5，点F是高AD和BE的交点，则BF的长是　5　. 二、等腰三角形证明举例 1. 等腰三角形的两个底角相等． 2. 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合． 3. 有两个角相等的三角形是等腰三角形. 2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，DE＝AD，则∠ECA的度数为　40°　. 三、垂直平分线证明举例 1. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 2. 到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 3. 下列条件中，不能判定直线MN是线段AB(点M，N不在AB上)的垂直平分线的是(　C　) A. MA＝MB，NA＝NB B. MA＝MB，MN⊥AB C. MA＝NA，MB＝NB D. NA＝NB，MN⊥AB 四、角平分线证明举例 1. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 2. 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 4. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF，试猜想EF与AD之间有什么关系，并证明你的猜想． 解：AD⊥EF，AD平分EF. 证明如下： ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE. ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA＝∠DFA＝90°， ∴∠DEA－∠DEF＝∠DFA－∠DFE， 即∠AEF＝∠AFE. ∴AE＝AF，∴点A在EF的垂直平分线上. ∵DE＝DF，∴点D在EF的垂直平分线上， 即AD是EF的垂直平分线. ∴AD⊥EF，AD平分EF. 五、直角三角形全等的证明举例 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等. 5. 如图，∠A＝∠D＝90°，再添加一个条件　AB＝CD(答案不唯一)　，即可使Rt△ABC≌Rt△DCB，理由是　HL　. 　[时间：60分钟　满分：100分] 一、选择题(每小题4分，共40分) 1. 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD且AB∥CD，点E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为(　C　) A. BE＝DF B. BF＝DE C. AE＝CF D. ∠1＝∠2 第1题图 2. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是(　D　) 第2题图 A. ∠A＝∠D B. BC＝EF C. ∠ACB＝∠F D. AC＝DF 解析：∵∠B＝∠DEF，AB＝DE， ∴添加∠A＝∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF； 添加BC＝EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF； 添加∠ACB＝∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF. 3. 如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是(　A　) 第3题图 A. AC＝AD B. AC＝BC C. ∠ABC＝∠ABD D. ∠BAC＝∠BAD 4. 如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，点E在线段AD上，若∠EBC＝45°，则∠ACE等于(　A　) 第4题图 A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 解析：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°. ∵AD⊥BC，∴BD＝DC， ∴EB＝EC， ∴∠ECB＝∠EBC＝45°， ∴∠ACE＝∠ACB－∠ECB＝15°. 5. 下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA＝EB，PA＝PB；②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA＝EB，则过点E的直线垂直平分线段AB. 其中正确的说法有(　C　) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 解析：根据线段垂直平分线的性质定理及逆定理， ①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA＝EB，PA＝PB，符合性质定理，是正确的； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB，符合逆定理，是正确的； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点，符合逆定理，是正确的； ④若EA＝EB，则过点E的直线垂直平分线段AB，不符合逆定理，是错误的； ∴正确的是①②③，共3个．