(练习)8 核心素养提升(二)-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(青岛版)

核心素养提升(二) 轴对称、等腰三角形的典型应用 如图，将长方形纸片ABCD折叠，使顶点C落在点C′处，有如下结论：①△DCF和△DC′F关于直线DF成轴对称；②△DEF是等腰三角形；③DE＝DC.其中正确的结论有　①②　.(只填序号) 解析：∵△DC′F由△DCF沿直线DF翻折而成， ∴△DCF和△DC′F关于直线DF成轴对称．故①正确． ∵△DC′F由△DCF沿直线DF翻折而成， ∴∠EFD＝∠DFC. ∵AD∥BC，∴∠DFC＝∠EDF， ∴∠EFD＝∠EDF，∴EF＝ED， ∴△DEF是等腰三角形，故②正确． ∵△DC′F由△DCF沿直线DF翻折而成， ∴CD＝C′D，∠C＝∠C′＝90°， ∴DE≠C′D，∴DE≠DC，故③错误． 数学建模之转化思想 【角度1】平面内最短路径问题中的“两点一线”问题 1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝3，△ABC的面积为，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F.若点D为BC的中点，点P为线段EF上一动点，求△PCD周长的最小值． 【探究思路】连接AD，AP，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC；再根据三角形的面积公式求出AD的长；由EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，AD的长为PC＋PD的最小值，由此即可得出结论． 【自主解答】 解：如图，连接AD，AP， 在△ABC中，因为AB＝AC，所以△ABC是等腰三角形， 因为点D是边BC的中点，所以AD⊥BC， 所以S△ABC＝BC·AD＝×3×AD＝ 解得AD＝5. 因为EF是线段AC的垂直平分线， 所以AP＝PC， 所以PD＋PC＝PD＋AP. 根据“两点之间线段最短”可知AD的长为PC＋PD的最小值， 所以△PCD的周长最小值＝AD＋CD＝AD＋BC＝5＋×3＝. 【角度2】平面内最短路径问题中的“一点两线”问题 2. 已知点P在∠MON内． 图1　　　　　　　　图2 (1)如图1，点P关于射线OM的对称点是点G，点P关于射线ON的对称点是点H，连接OG，OH，OP. ①若∠MON＝50°，则∠GOH＝　100°　； ②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10. (2)如图2，若∠MON＝60°，A，B分别是射线OM，ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数． 【探究思路】(1)①依据轴对称可得OG＝OP，OH＝OP，OM⊥GP，ON⊥PH，即可得到OM平分∠POG，ON平分∠POH，进而得出∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°；②当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°，此时点G，O，H在同一直线上，可得GH＝GO＋HO＝10. (2)设点P关于OM，ON的对称点分别为点P′，P″，当点A，B在P′P″上时，△PAB周长为PA＋AB＋BP＝P′P″，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出∠APB的度数． 【自主解答】 解：(1)①因为点P关于OM的对称点是点G，点P关于ON的对称点是点H， 所以OG＝OP，OM⊥GP，所以OM平分∠POG， 同理可得，ON平分∠POH，所以∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°. 故答案为100°. ②因为PO＝5，所以GO＝HO＝5，当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°， 所以点G，O，H在同一条直线上，所以GH＝GO＋HO＝10. (2)如图，分别作点P关于OM，ON的对称点P′，P″，连接PP′，PP″，OP，OP′，OP″，P′P″，P′P″交OM，ON于点A，B，连接PA，PB，则AP＝AP′，BP＝BP″，此时△PAB的周长最小且等于P′P″的长. 由轴对称的性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB， 所以∠P′OP″＝2∠MON＝2×60°＝120°， 所以∠OP′P″＝∠OP″P′＝(180°－120°)÷2＝30°. 又因为∠OPP′＝∠OP′P， ∠APP′＝∠AP′P， 所以∠APO＝∠AP′O＝30°， 同理可得，∠BPO＝∠OP″B＝30°， 所以∠APB＝∠APO＋∠BPO＝60°. 【角度3】平面内最短路径问题中的“两点两线”问题 3. 如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊，然后赶羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家．假设山娃赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线，并指出放羊与饮水的位置． 【探究思路】作出点A关于l1的对称点E，点B关于l2的对称点F，连接EF，交l1，l2于点C，点D，则AC→CD→DB是他走的最短路线． 【自主解答】 解：如图，作出点A关于l1的对称点E，点B关于l2的对称点F，连接EF，分别交l1，l2于点C，点D，连接AC，BD，则AC→CD→DB是他走的最短路线.