(练习)4 核心素养提升(一)-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(青岛版)

核心素养提升(一) 三角形全等的判定方法及应用 如图，海岛上有A，B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看海岛C，D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么海岛C，D到观测点A，B所在海岸的距离有什么关系？想一想这是为什么？ 解：相等. 理由如下： 因为∠CAD＝∠CBD，∠CAB＝∠DBA＝90°， 所以∠CAB－∠CAD＝∠DBA－∠CBD， 即∠DAB＝∠CBA. 在△CAB和△DBA中， 所以△CAB≌△DBA(ASA)，所以CA＝DB， 即海岛C，D到观测点A，B所在海岸的距离相等. 逻辑推理之化归思想 【角度1】判断两条直线的关系 1. 如图，已知BD，CE分别是△ABC的边AC，AB上的高，点P在BD的延长线上，且BP＝AC，点Q在CE上，且CQ＝AB，判断线段AP与AQ之间的数量与位置关系，并说明理由． 【探究思路】(1)根据图形猜想得出结论；(2)要得到AP＝AQ，只需说明△ABP≌△QCA；由三角形全等，得到对应角相等，结合直角三角形的性质可得到AP⊥AQ. 【自主解答】 解： AP⊥AQ且AP＝AQ. 理由如下： 如图，因为BD，CE分别是△ABC的边AC，AB上的高， 所以∠ADB＝∠AEC＝90°， 所以∠1＋∠BAC＝90°，∠2＋∠BAC＝90°， 所以∠1＝∠2. 在△ABP与△QCA中， 所以△ABP≌△QCA(SAS)， 所以AP＝AQ，∠P＝∠QAC. 又因为∠P＋∠PAD＝90°， 所以∠QAC＋∠PAD＝90°， 即∠QAP＝90°，所以AP⊥AQ. 【角度2】计算点的坐标 2. 如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为(－2,0)，点A的坐标为(－6,3)，求点B的坐标． 【探究思路】过点A和点B分别作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，利用已知条件可判定△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出点B的坐标． 【自主解答】 解：如图，过点A和点B分别作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E， 则∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD＋∠CAD＝90°. 因为∠ACB＝90°， 所以∠ACD＋∠BCE＝90°， 所以∠CAD＝∠BCE. 在△ADC和△CEB中， 所以△ADC≌△CEB(AAS)， 所以DC＝BE，AD＝CE. 因为点C的坐标为(－2,0)，点A的坐标为(－6,3)，所以OC＝2，AD＝CE＝3，OD＝6， 所以CD＝OD－OC＝4，OE＝CE－OC＝3－2＝1，BE＝4，则点B的坐标是(1,4). 【角度3】利用全等三角形解决线段的和差问题 3. 如图，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，试说明：AC＋BD＝AB. 【探究思路】有两种方法： (1)截长法：在AB上截取AF＝AC，连接EF，可判定△ACE≌△AFE，进一步可判定△EFB≌△EDB，再利用全等三角形的性质结合线段的和差可说明结论； (2)补短法：延长AC到点F，使AF＝AB，连接EF，可判定△AEF≌△AEB，进一步可判定△DEB≌△CEF，再利用全等三角形的性质结合线段的和差可说明结论． 【自主解答】 解：方法一，截长法：如图1，在AB上截取AF＝AC，连接EF. 因为AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，所以∠1＝∠2，∠3＝∠4. 在△ACE和△AFE中， 所以△ACE≌△AFE(SAS)，所以∠5＝∠C. 因为AC∥BD，所以∠C＋∠D＝180°. 因为∠5＋∠6＝180°，所以∠6＝∠D. 在△EFB和△EDB中， 所以△EFB≌△EDB(AAS)，所以FB＝DB， 所以AC＋BD＝AF＋FB＝AB. 方法二，补短法：如图2，延长AC到点F，使AF＝AB，连接EF. 因为AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA， 所以∠1＝∠2，∠3＝∠4. 在△AEF和△AEB中， 所以△AEF≌△AEB(SAS)， 所以EB＝EF，∠F＝∠3. 又因为∠3＝∠4，所以∠F＝∠4. 因为AC∥BD， 所以∠FCE＝∠D. 在△CEF和△DEB中， 所以△CEF≌△DEB(AAS)， 所以CF＝BD. 因为AB＝AF＝AC＋CF， 所以AC＋BD＝AB. 1. 如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判定△ABC≌△DCB的方法是(　A　) 第1题图 A. SAS B. AAS C. SSS D. ASA 解析：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB， ∴△ABC≌△DCB(SAS)． 2. 如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，D在同一条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是