(教参)第5章 阶段任务性复习 几何证明及其应用-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(青岛版)

几何证明及其应用 问题：完成下列1～4题，思考几何证明的应用有哪几类． 1. 如图，AC∥BE，点D在BC上，AB＝DE，∠ABE＝∠CDE.求证：BC＝BE. 证明：∵AC∥BE， ∴∠DBE＝∠C. ∵∠CDE＝∠DBE＋∠E，∠ABE＝∠ABC＋∠DBE，∠ABE＝∠CDE， ∴∠E＝∠ABC. 在△ABC与△DEB中， ∴△ABC≌△DEB(AAS)． ∴BC＝BE. 2. 如图，点B，F，C，E在直线l上(点F，C之间不能直接测量)，点A，D在直线l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，BF＝CE.求证：AC∥DF. 证明：∵BF＝CE， ∴BF＋CF＝CE＋CF， 即BC＝EF. ∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠DEF. 在△ABC与△DEF中， ∴△ABC≌DEF(SAS)， ∴∠ACB＝∠DFE， ∴AC∥DF. 3. 如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B＝∠D＝90°，C为BD上一点，AC＝CE，BC＝DE.求证：AC⊥CE. 证明：在Rt△ABC和Rt△CDE中， ∴Rt△ABC≌Rt△CDE(HL)， ∴∠BAC＝∠DCE，∠ACB＝∠CED. ∵在Rt△ABC中，∠BAC＋∠ACB＝90°， ∴∠DCE＋∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝180°－∠ACB－∠DCE＝90°， ∴AC⊥CE. 4. 如图，∠C＝∠D＝90°，AD＝BC.判断△ABE的形状，并证明你的结论． 解：△ABE是等腰三角形．证明如下： ∵∠C＝∠D＝90°， 在Rt△ADB和Rt△BCA中， ∴Rt△ADB≌Rt△BCA(HL)， ∴∠BAE＝∠ABE， ∴AE＝BE， 即△ABE是等腰三角形． 类型1　证明线段的等量关系 【例1】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，过点C作BD的垂线交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F.求证：BD＝2CE. [思路分析] 根据已知条件，易证△BFE≌△BCE，所以CE＝FE，再证明△ABD≌△ACF，证得BD＝CF，从而证得BD＝2CE. 证明：∵∠ABC的平分线交AC于点D， ∴∠FBE＝∠CBE. ∵BE⊥CF， ∴∠BEF＝∠BEC. 在△BFE和△BCE中， ∴△BFE≌△BCE(ASA)， ∴CE＝EF， ∴CF＝2CE. ∵∠BAC＝90°， 且AB＝AC， ∴∠FAC＝∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠FBE＝∠CBE＝22.5°， ∴∠F＝∠ADB＝67.5°. 在△ABD和△ACF中， ∴△ABD≌△ACF(AAS)， ∴BD＝CF， ∴BD＝2CE. 【练习】 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BE平分∠ABC交AC于点E，求证：BC＝AB＋EC. 证明：在BC上取BA′＝BA，连接EA′，图略． ∵∠A＝108°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝36°. ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝18°. 在△ABE与△A′BE中， ∴△ABE≌△A′BE(SAS)， ∴∠BA′E＝∠A＝108°， ∴∠EA′C＝72°， ∴∠A′EC＝72°， ∴∠A′EC＝∠CA′E， ∴EC＝A′C， ∴BC＝BA′＋A′C＝AB＋EC. 类型2　证明角相等 【例2】如图，已知AC＝DC，AB＝DE，CB＝CE.求证：∠1＝∠2. [思路分析] 由题意可证△ABC≌△DEC，可得∠A＝∠D，再根据三角形内角和即可得∠1＝∠2. 证明：如图， 在△ABC和△DEC中， ∴△ABC≌△DEC(SSS)， ∴∠A＝∠D. ∵∠AFE＝∠DFC， ∴∠1＝∠2. 【练习】 如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，点E在BC上，AB，DE相交于点F.求证： (1)△ABC≌△ADE； (2)∠BEF＝∠CAE. 证明：(1)∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD＋∠BAE＝∠CAE＋∠BAE， 即∠DAE＝∠BAC. 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE(SAS)． (2)由(1)知△ABC≌△ADE， ∴∠B＝∠D. ∵∠BFE＝∠DFA， ∴∠BEF＝∠BAD. 又∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BEF＝∠CAE. 类型3　证明线段垂直 【例3】如图，已知AB＝AC，∠BEF＝∠CFH，BE＝CF，M是EH的中点．求证：FM⊥EH.　 [思路分析] 根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，根据ASA可证△BEF≌△CFH，根据全等三角形的性质可得EF＝FH，再根据等腰三角形的性质可证FM⊥EH. 证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. 在△BEF与△CFH中， ∴△BEF≌△CFH(ASA)， ∴EF＝FH. ∵M是EH的中点， ∴FM⊥EH. 【练习】 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD