(教参)第5章 5.6 几何证明举例-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(青岛版)

5.6　几何证明举例 课时1　全等三角形和等腰三角形 学习目标 1. 学会证明并掌握下列定理：角角边定理；等腰三角形的性质定理及判定定理；等边三角形的性质定理及判定定理，会运用上述定理，证明有关的命题． 2. 掌握基本的证明方法，会通过分析的方法探索证题的思路，知道证明的过程可以有不同的表达形式，学会综合法证明的格式. 素养目标 使学生进一步体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，培养学生的推理能力. 一、三角形全等的判定 1. 　两角　分别相等且其中一组　等角的对边　也相等的两个三角形全等(简称为AAS)． 2. 从基本事实　SAS　，　ASA　，　SSS　以及定理　AAS　出发可以判定两个三角形全等，利用全等三角形对应边和对应角的定义，可以进一步推证两个全等三角形的有关　线段　或　角　的相等． 如图，AC与BD相交于点O，且AB＝CD，请添加一个条件，使得△ABO≌△CDO，你添加的条件是　∠A＝∠C或∠B＝∠D　. 二、等腰三角形的性质与判定 性质定理1：等腰三角形的两个底角　相等　. 性质定理2：等腰三角形底边上的　高　、　中线　及顶角的　平分线　重合(三线合一)． 判定定理：有两个角　相等　的三角形是等腰三角形． 1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，若BC＝18 cm，则BD＝　9　cm. 2. 如图，∠MON＝35°，点P在射线ON上，以点P为圆心，PO的长为半径画圆弧，交OM于点Q，连接PQ，则∠QPN＝　70°　. 解析：由作图可知，PO＝PQ，∴∠PQO＝∠O＝35°，∴∠QPN＝∠O＋∠PQO＝70°. 3. 若三角形三边长满足(a－b)(a－c)＝0，则△ABC的形状是　等腰三角形　. 解析：∵三角形三边长满足(a－b)(a－c)＝0， ∴a－b＝0或a－c＝0或a－b＝0，a－c＝0， ∴a＝b或a＝c或a＝b＝c， ∴这个三角形为等腰三角形或等边三角形． ∵等边三角形是特殊的等腰三角形， ∴这个三角形是等腰三角形． 三、等边三角形的性质与判定 性质定理：等边三角形的每个内角都等于　60°　.　 判定定理：①三个角都　相等　的三角形是等边三角形；②有一个角是　60°　的等腰三角形是等边三角形． 在△ABC中，如果AB＝AC，∠A＝∠C，那么△ABC的形状为　等边三角形　. 　全等三角形的应用 如图，点P，Q分别是等边三角形ABC边AB，BC上的动点(端点除外)，点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发． 探究1：连接AQ，CP.求证：△ABQ≌△CAP. 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA. 又∵点P，Q运动速度相同， ∴AP＝BQ. 在△ABQ与△CAP中， ∴△ABQ≌△CAP(SAS)． 探究2：当点P，Q分别在边AB，BC上运动时，AQ，CP相交于点M，∠QMC的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数． 解：点P，Q在边AB，BC上运动的过程中，∠QMC的度数不变．理由如下： ∵△ABQ≌△CAP， ∴∠BAQ＝∠ACP. ∵∠QMC是△ACM的外角， ∴∠QMC＝∠ACP＋∠MAC＝∠BAQ＋∠MAC＝∠BAC， 易知∠BAC＝60°， ∴∠QMC＝60°. 探究3：如图，当点P，Q分别在AB，BC的延长线上运动时，直线AQ，PC相交于点M，∠QMC的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数． 解：∠QMC的度数不变．理由如下： 易得△ABQ≌△CAP， ∴∠BAQ＝∠ACP. ∵∠QMC是△APM的外角， ∴∠QMC＝∠BAQ＋∠APM， ∴∠QMC＝∠ACP＋∠APM＝180°－∠PAC＝180°－60°＝120°， 即∠QMC的度数不变，∠QMC的度数为120°. 1. 如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O. (1)求证：△AEC≌△BED； (2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数． (1)证明：∵AE和BD相交于点O， ∴∠AOD＝∠BOE. ∵在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B， ∴∠BEO＝∠2. 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BEO， ∴∠AEC＝∠BED. 在△AEC和△BED中， ∴△AEC≌△BED(ASA)． (2)解：∵△AEC≌△BED， ∴EC＝ED，∠C＝∠BDE. ∵在△EDC中，EC＝ED，∠1＝42°， ∴∠C＝∠EDC＝69°， ∴∠BDE＝∠C＝69°. 2. 如图，已知∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边三角形ACD，连接BD，线段OC和BD有什么数量关系，并证明你的结论． 解：OC＝BD.证明如下： ∵∠AOB＝60°，OA＝