(教参)第5章 5.5 三角形内角和定理-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(青岛版)

5.5　三角形内角和定理 学习目标 1. 会证明三角形内角和定理，体会证明中辅助线的作用，能用多种方法证明三角形内角和定理． 2. 会证明三角形内角和定理的两个推论，知道推论的定义． 3. 能运用三角形内角和定理及其推论求有关的角或进行有关的证明． 4. 会证明直角三角形的性质定理及判定定理，能运用它们进行计算或证明. 素养目标 通过一题多证、一题多变激发学生勇于探索、合作交流的精神，体验成功的乐趣，引导学生的个性发展，感悟逻辑推理的价值. 一、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于　180°　. 1. 已知三角形的三个内角的度数如图所示，则图中x的值为(　B　) A. 25　　B. 30　　C. 35　　D. 40 解析：由题意，得x°＋35°＋115°＝180°. ∴x＝30. 2. 在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝40°，则∠C的度数为　100　度． 解析：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠C＝180°－∠A－∠B. ∵∠A＝40°，∠B＝40°， ∴∠C＝180°－40°－40°＝100°. 二、三角形外角的性质 推论1　三角形的一个外角　等于　与它不相邻的两个内角的和． 推论2　三角形的一个外角　大于　与它不相邻的任意一个内角． 1. 如图，已知B，C，D三点共线，∠B＝56°，∠ACD＝120°，则∠A的度数为(　C　) A. 56°　　B. 60°　　C. 64°　　D. 176° 解析：∵∠ACD是△ABC的外角，∠ACD＝120°，∠B＝56°，∴∠A＝∠ACD－∠B＝120°－56°＝64°. 2. 一张小凳子的结构如图所示，若∠1＝∠2，∠3＝120°，则∠1的度数为　60°　. 解析：∵∠3＝∠1＋∠2，∠1＝∠2， ∴∠3＝2∠1. ∵∠3＝120°，∴∠1＝60°. 3. 如图所示的图形中，∠1，∠2的大小关系是∠1　＜　∠2. 解析：由三角形的外角的性质，得∠1，∠2的大小关系是∠1＜∠2. 三、推论 由基本事实或定理直接推出的　真命题　叫做推论．推论可以作为定理使用． 四、直角三角形的性质与判定 直角三角形的两个锐角　互余　；两个锐角互余的三角形是　直角　三角形． 1. 如图，已知AB⊥BC，∠A＝52°，则∠C的度数为(　C　) A. 28° B. 32° C. 38° D. 52° 2. 在△ABC中，若满足下列条件，则一定不是直角三角形的是(　D　) A. ∠A＝∠B＋∠C B. ∠A＝∠C－∠B C. 一个外角等于与它相邻的内角 D. ∠A∶∠B∶∠C＝1∶3∶5 　三角形内角和的应用 如图，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”． 探究1：如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的“三分线”BD交AC于点D，求∠BDC的度数； 解：∵∠B＝45°，∠B的“三分线”BD交AC于点D， ∴∠ABD′＝15°，∠ABD″＝30°， 如图， 分两种情况： 情况一：当BD′是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝80°＋15°＝95°； 情况二：当BD″是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝80°＋30°＝110°. 探究2：如图，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC的“邻BC三分线”和∠ACB的“邻BC三分线”，且∠BPC＝140°，求∠A的度数； 解：∵在△BPC中，∠BPC＝140°， ∴∠PBC＋∠PCB＝40°. 又∵BP，CP分别是∠ABC的“邻BC三分线”和∠ACB的“邻BC三分线”， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB， ∴∠ABC＋∠ACB＝∠PBC＋∠PCB＝40°， ∴∠ABC＋∠ACB＝120°. ∵在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°， ∴∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝60°. 探究3：在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的“三分线”所在的直线与∠ACD的“三分线”所在的直线交于点P.若∠A＝m°(m＞54)，∠B＝54°，求∠BPC的度数．(用含m的代数式表示) 解：分四种情况进行画图计算： 情况一：如图1，当BP和CP分别是“邻AB三分线”“邻AC三分线”时， 易知∠BPC＝∠A＝m°； 图1 情况二：如图2，当BP和CP分别是“邻BC三分线”“邻CD三分线”时， 易知∠BPC＝∠A＝m°； 图2 情况三：如图3，当BP和CP分别是“邻BC三分线”“邻AC三分线”时， 易知∠BPC＝∠A＋∠ABC＝m°＋18°； 图3 情况四：如图4，当BP和CP分别是“邻AB三分线”“邻CD三分线”时， 易知∠BPC＝∠A－∠ABC＝m°－18°. 图4 综上，∠BPC的度数为m°或m°或m°＋18°或m°－18°.