(教参)第5章 5.3 什么是几何证明-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(青岛版)

5.3　什么是几何证明 学习目标 1. 理解基本事实，掌握本节中提出的8条基本事实以及等式和不等式的基本性质． 2. 理解证明的意义，掌握几何证明的步骤和书写格式，通过例题了解什么是推理，以及“∵……，∴……”的推理形式，体会推理要步步有据，合乎逻辑． 3. 了解定理的意义，会证明定理：对顶角相等，同角(或等角)的余角(或补角)相等. 素养目标 使学生学会用数学眼光观察世界，发展数学抽象和直观想象素养；学会用数学思维分析世界，发展逻辑推理和数学运算素养；学会用数学语言表达世界，发展数学建模和数据分析素养. 一、基本事实 我们挑选出一部分人们通过长期实践总结出来，被大家所公认的命题作为　基本事实　，用基本事实作为证实所有其他几何命题的起始依据． 二、定理 除基本事实外，其他几何命题都需要由基本事实、定义、已证实的结论及已知条件出发，通过　逻辑推理　的方法加以证实．推理的过程叫做　证明　.经过推理得到证实的真命题叫做　定理　. 想一想 一个定理的推论是定理吗？ 解：是． 1. 下列语句中，属于基本事实的是(　B　) A. 在直线AB上任取一点E B. 两点确定一条直线 C. 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 D. 内错角相等，两直线平行 2. 下列语句中属于定理的是 (　D　) A. 在射线CD上任取一点B B. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C. ∠A>∠B D. 到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 三、几何证明题的步骤 几何证明的过程一般分为三个步骤： (1)根据题意，　画出图形　； (2)结合图形，根据条件、结论，写出　已知　、　求证　； (3)找出由已知推出求证的　途径　，写出“　证明　”．　 如图，已知∠AOB＝90°，过点O作直线CD，作OE⊥CD于点O.图中除了直角相等外，再找出一对相等的角，并证明它们相等． 解：∠AOD＝∠BOE. 证明：∵OE⊥CD于点O， ∴∠DOE＝90°， ∴∠DOB＋∠BOE＝90°. ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOD＋∠DOB＝90°， ∴∠AOD＝∠BOE. 　几何证明 如图，已知DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB. 探究1：求证：FG⊥AB； 证明：∵DE∥BC， ∴∠1＝∠2. ∵∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴CD∥FG. ∵CD⊥AB， ∴FG⊥AB. 探究2：若题设中的“DE∥BC”与探究1中的“FG⊥AB”对调后，命题还成立吗？请说明理由； 解：成立．理由如下： ∵FG⊥AB，CD⊥AB， ∴CD∥FG， ∴∠2＝∠3. ∵∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴DE∥BC. 探究3：若把题设中的“∠1＝∠3”与探究1中的“FG⊥AB”对调后，命题还成立吗？请说明理由． 解：成立．理由如下： ∵FG⊥AB，CD⊥AB， ∴CD∥FG， ∴∠2＝∠3. ∵DE∥BC， ∴∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3. 1. 如图，给出如下条件：①AB∥CD；②BE平分∠ABD；③∠1＋∠2＝90°；④DE平分∠BDC. (1)请以其中三个为条件，第四个为结论，写出一个命题； (2)判断这个命题是否为真命题，并说明理由． 解：(1)如果BE平分∠ABD，∠1＋∠2＝90°，DE平分∠BDC，那么AB∥CD. (2)这个命题是真命题．理由如下： ∵BE平分∠ABD， ∴∠1＝∠ABD. ∵DE平分∠BDC， ∴∠2＝∠BDC. ∵∠1＋∠2＝90°， ∴∠ABD＋∠BDC＝180°， ∴AB∥CD. 2. 求证：两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行． 解：已知：如图，AB∥CD，直线IF分别交AB，CD于点E，F，EH，FG分别平分∠BEI，∠DFE. 求证：EH∥FG. 证明：∵AB∥CD(已知)， ∴∠BEI＝∠DFE(两直线平行，同位角相等)． 又∵EH，FG分别平分∠BEI，∠DFE(已知)， ∴∠1＝∠BEI，∠2＝∠DFE(角平分线的定义)． ∴∠1＝∠2(等量代换)． ∴EH∥FG(同位角相等，两直线平行)． 什么是几何证明 知识点1　基本事实和定理 1. 基本事实 我们挑选出一部分人们通过长期实践总结出来，被大家所公认的命题作为基本事实，用基本事实作为证实所有其他几何命题的起始依据． 2. 常用的基本事实 (1)两点确定一条直线； (2)两点之间，线段最短； (3)过一点有且只有一条直线与这条直线垂直； (4)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行； (5)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； (6)两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； (7)两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； (8)三边分别相等的两个三角形全等； (9)等式的基本性质以及不等式的基本性质(以后学习)； (10)等量代换：在等式