(教参)第5章 5.2 为什么要证明-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(青岛版)

5.2　为什么要证明 学习目标 1. 了解通过观察、实验、归纳和类比等方法得到的命题的正确性有待确认． 2. 了解证明的意义，理解证明的必要性. 素养目标 培养合作交流、归纳探讨的学习品质，培养用科学的态度审视在数学活动中遇到的不确定结论的习惯. 证明的必要性 由观察、实验、归纳和类比得到的命题都仅仅是一种猜想，不能保证它是　真命题　.要确定命题的正确性，还需要进一步有根据地说明理由，经过严密的　逻辑推理　加以证实，才能承认它是真命题． 1. 下列结论你能肯定的是(　B　) A. 今天下雨，明天必然还下雨 B. 三个连续正整数的积一定能被6整除 C. 小明在数学竞赛中一定能获奖 D. 两张相片看起来很像，则肯定照的是同一个人 2. 小明花整数元网购了一本数学故事书，让同学们猜书的价格．甲说：“至少15元”，乙说“至多13元”，丙说：“至多10元”．小明说：“你们都猜错了．”则这本书的价格为(　C　) A. 12元　　B. 13元　　C. 14元　　D. 无法确定 解析：由题意，得甲、乙、丙的说法都是错误的， 甲的说法错误，说明这本书的价格少于15元， 乙、丙的说法错误，说明这本书的价格高于13元， 又因为小明花整数元网购了一本数学故事书， 所以这本书的价格是14元． 　证明的必要性 桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张(n为正整数)纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“＋1”“－1”分别表示一张纸牌“正面向上”“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从－7变化为＋7. 探究1：当n＝1时，每次翻转1张纸牌，总和的变化量是2或－2，则最少几次操作后所有纸牌全部正面向上？ 解：总变化量：7－(－7)＝14， 次数(至少)：14÷2＝7. 探究2：当n＝2时，每次翻转2张纸牌，总和的变化量是　14　，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由； 解：不能使所有纸牌全部正面向上．理由如下： ①两张由反到正，变化：2×[1－(－1)]＝4， ②两张由正到反，变化：2×(－1－1)＝－4， ③一正一反变一反一正，变化：－1－1＋1－(－1)＝0. 总变化量仍为14，而14无法由4，－4，0组成， 故不能所有纸牌全正． 探究3：若要使多次操作后所有纸牌全部正面向上，写出n的所有可能的值． 解：由题可知：0＜n≤7. ①当n＝1时，由探究1可知能够做到； ②当n＝2时，由探究2可知无法做到； ③当n＝3时，各种情况的变化量为6，－6，2，－2， 14＝6＋6＋2，故n＝3可以； ④当n＝4时，各种情况的变化量为8，－8，4，－4，0， 14无法由8，－8，4，－4，0组成，故n＝4不可以； ⑤当n＝5时，各种情况的变化量为10，－10，6，－6，2，－2， 14＝10＋2＋2，故n＝5可以； ⑥当n＝6时，各种情况的变化量为12，－12，8，－8，4，－4，0， 无法组合为14，故n＝6不可以； ⑦当n＝7时，一次全翻完，可以． 故n＝1，3，5，7时，可以． 1. 在学习中，小明发现：当n＝1，2，3时，n2－6n的值都是负数．于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2－6n的值都是负数．小明的猜想正确吗？请简要说明理由． 解：不正确． 解法一：(利用反例证明)例如：当n＝7时，n2－6n＝7＞0； 解法二：n2－6n＝n(n－6)，当n≥6时，n2－6n≥0. 2. 一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b，若把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新两位数，这两个数的和能被11整除吗？我们可验证一下：比如23，把它的十位数字与个位数字对调后得到新两位数32，而23＋32＝55，因此，我们断定这两个数的和能被11整除，问：上述说法正确吗？ 解：上述验证过程并不完全正确，只是一个特例，为了验证结论的正确性，可作如下推理：设原两位数为10a＋b，则得到的新两位数为10b＋a. 因此(10a＋b)＋(10b＋a)＝11(a＋b)． 因为11(a＋b)是11的整数倍， 所以这两个数的和能被11整除． 为什么要证明 知识点　证明的必要性 1. 由观察、实验、归纳和类比得到的命题都仅仅是一种猜想，不能保证它是真命题．要确定命题的正确性，还需要进一步有根据地说明理由，经过严密的逻辑推理加以证实，才能承认它是真命题． 2. 检验一个数学结论的常用方法 (1)实验验证； (2)推理证明． 【考点诠释】 (1)要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验是不够的，必须进行严密的逻辑推理． (2)没有经过严密的推理，仅由若干特例归纳得出的结论可能潜藏着错误． 4/4 学科网（北京）股份有限公司 $