(教参)第3章 阶段任务性复习 分式方程的解法及增根问题-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(青岛版)

分式方程的解法及增根问题 问题：完成下列1～5题，体会解分式方程有什么方法． 1. 分式方程＋1＝的解是(　D　) A. x＝1　　B. x＝－2　　C. x＝　　D. x＝2 解析：方程两边都乘(x－1)，得x＋x－1＝3，解得x＝2， 经检验，x＝2是原分式方程的解． 2. 关于x的分式方程＝＋1有增根，则这个增根是(　B　) A. x＝0　　B. x＝1　　C. x＝2　　D. x＝－1 解析：因为原分式方程有增根， 所以x－1＝0，解得x＝1. 3. 方程＝的解是x＝　－3　.　 解析：方程两边都乘(2x＋1)(x－2)，得x－2＝2x＋1.　 解得x＝－3. 经检验，x＝－3是原方程的解， 所以原方程的解是x＝－3. 4. 若关于x的方程－＝0产生增根，则m＝　－5　. 解析：方程两边都乘(x＋4)，得 m－(x－1)＝0， 解得x＝m＋1， 因为方程有增根， 所以x＋4＝0， 所以x＝－4，即m＋1＝－4， 所以m＝－5. 5. 解方程：－＝. 解：因为－＝， 所以＝， 所以6x－3－4x－2＝x＋1， 解得x＝6. 经检验，x＝6是原分式方程的解． 所以原方程的解是x＝6. 解分式方程最常用的方法是去分母法，把分式方程化为整式方程，以之求解的过程，但在一些具体方程中，若用去分母的方法，其未知数的次数会增大，运算复杂，计算量加大，易出现错误，因此要善于观察具体方程的特点，对一些特殊分式方程，采用特殊方法，会简化解题过程． 方法1　去分母法 【例1】解方程：－1＝. [思路分析] 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 解：去分母，得5x－8－(x2－9)＝(3－x)(x－3)． 去括号，得5x－8－x2＋9＝－x2＋6x－9. 移项、合并同类项，得－x＝－10. 解得x＝10. 经检验，x＝10是原方程的根． 所以原分式方程的解是x＝10. 【练习】 1. 解方程： (1)－1＝； (2)＝1－. 解：(1)去分母，得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3.　 去括号，得x2＋2x－x2－x＋2＝3. 解得x＝1. 检验：当x＝1时，(x－1)(x＋2)＝0， 所以原方程无解． (2)去分母，得2x＝x－2＋1. 解得x＝－1. 经检验，x＝－1是原分式方程的解． 所以原方程的解是x＝－1. 2. 解分式方程． (1)＋1＝； (2)＝－. 解：(1)去分母，得2x－4＋x－1＝－2. 解得x＝1. 经检验，x＝1是增根， 所以原分式方程无解． (2)去分母，得x＋1＝3(2x－1)－2(2x＋1)． 解得x＝6. 经检验，x＝6是原分式方程的解． 所以原方程的解是x＝6. 方法2　换元法 用换元法解分式方程是常用的方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧． 【例2】解方程：＝－. [思路分析] 设＝y，则原方程化为y＝＋2y，解方程求得y的值，再代入＝y求值即可．结果需检验． 解：设＝y， 则原方程化为y＝＋2y， 解得y＝－. 当y＝－时， ＝－， 解得x＝－. 经检验，x＝－是原方程的根． 所以原方程的解是x＝－. 【练习】 1. 解方程：－＝. 解：设3x－1＝y， 则原方程可化为3y－2＝5， 解得y＝， 所以3x－1＝，解得x＝. 检验：当x＝时，6x－2≠0， 所以x＝是原分式方程的解． 2. 阅读下面材料，解答问题． 解方程：－＝0. 解：设y＝，则原方程化为y－＝0， 方程两边都乘y，得y2－4＝0. 解得y＝±2. 经检验，y＝±2都是方程y－＝0的解， 所以当y＝2时，＝2，解得x＝－1， 当y＝－2时，＝－2，解得x＝， 经检验，x＝－1或x＝都是原分式方程的解． 所以原分式方程的解为x＝－1或 x＝. 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： (1)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为　－＝0　； (2)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为　y－＝0　； (3)模仿上述换元法解方程：－－1＝0.　 解：(1)将y＝代入原方程，则原方程化为－＝0.故答案为－＝0. (2)将y＝代入原方程，则原方程可化为y－＝0.故答案为y－＝0. (3)原方程变形为－－＝0， 即－＝0， 设y＝，则原方程化为y－＝0， 方程两边都乘y，得y2－1＝0. 解得y＝±1. 经检验，y＝±1都是方程y－＝0的解． 当y＝1时，＝1，该方程无解； 当y＝－1时，＝－1， 解得x＝－， 经检验，x＝－是原分式方程的解， 所以原分式方程的解为x＝－. 方法3　拆项法 【例3】解方程＋＋＝1. [思路分析] 本题虽然可用通分去分母的常规解法，但若将第二项拆项、裂项，则更简捷． 解：原方程拆项，