(教参)第2章 阶段任务性复习 等腰三角形的典型应用-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(青岛版)

等腰三角形的典型应用 问题：完成下列1～4题，思考如何构造等腰三角形． 1. 如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是(　B　) A. 直角三角形　　B. 等腰三角形　　C. 等边三角形　　D. 等腰直角三角形 解析：画示意图如图所示， 因为DC平分∠ACE， 所以∠ACD＝∠DCE. 因为AB∥CD， 所以∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCE， 所以∠B＝∠A， 所以△ABC为等腰三角形． 2. 如图，在等边三角形ABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是(　A　) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 3. 若在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，AC＝AB＋BD，∠C＝30°，则∠B的度数为(　C　) A. 90°　　B. 75°　　C. 60°　　D. 45° 4. 如图，∠ABD＝2∠C，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，若AB＝10，BC＝15，BD＝8. (1)试说明：AB＝AD； (2)求△ABC的周长． 解：(1)因为AN平分∠BAC，BN⊥AN， 所以△ABD为等腰三角形， 所以AB＝AD. (2)因为AB＝AD＝10， 所以∠ADB＝∠ABD＝2∠C， 所以∠DBC＝∠ADB－∠C＝∠C， 所以CD＝BD＝8， 所以△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝AB＋BC＋AD＋CD＝10＋15＋10＋8＝43. 类型1　利用“角平分线＋平行线”构造等腰三角形 (1)自角平分线上一点作角的一边的平行线，可构造等腰三角形． 应用模型：如图，OC平分∠AOB，AC∥OB，则有∠1＝∠2，∠3＝∠2，所以∠1＝∠3，所以△OAC为等腰三角形． (2)过角的一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边所在直线于一点，可构造等腰三角形． 应用模型：如图，OC平分∠AOB，OC∥DE，故∠1＝∠2，∠1＝∠4，∠3＝∠2，所以∠3＝∠4，所以△ODE是等腰三角形． 【例1】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E，F分别在BD，AD上，且DE＝CD，EF＝AC，试说明：EF∥AB. 解：如图，过点E作AC的平行线交AD的延长线于点G. 则EG∥AC，则∠DCA＝∠DEG. 在△DEG和△DCA中， 所以△DEG≌△DCA(ASA)， 所以EG＝AC，∠G＝∠CAD. 又因为EF＝AC，所以EG＝EF. 所以∠G＝∠EFD. 因为AD平分∠BAC， 所以∠BAD＝∠CAD. 所以∠EFD＝∠BAD， 所以EF∥AB. 【练习】 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E. (1)求∠ADB的度数； (2)试说明：△ADE是等腰三角形． 解：(1)因为AB＝AC，∠BAC＝36°， 所以∠ABC＝∠C＝(180°－∠BAC)＝72°. 因为BD平分∠ABC， 所以∠DBC＝∠ABC＝36°， 所以∠ADB＝∠C＋∠DBC＝72°＋36°＝108°. (2)因为AE∥BC， 所以∠EAC＝∠C＝72°. 因为∠C＝72°，∠DBC＝36°， 所以∠ADE＝∠CDB＝180°－72°－36°＝72°， 所以∠EAD＝∠ADE，所以AE＝DE， 所以△ADE是等腰三角形． 类型2　利用“角平分线＋垂直”构造等腰三角形 当遇到与角平分线垂直的线段时，可把这条线段延长与角的另一条边相交，构造等腰三角形和两个全等的直角三角形． 应用模型：如图，∠1＝∠2，DE⊥OE于点E，若延长DE交OB于点F，则△OED≌△OEF，此时有ED＝EF＝DF，OD＝OF，∠ODF＝∠OFD等结论． 【例2】如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过点C的直线CE于点E.试说明：BD＝2CE. 解：如图，延长BA，CE交于点F. 因为BD平分∠ABC，BE⊥CF， 所以BF＝BC，所以CE＝EF， 所以CF＝2CE. 因为∠BAC＝90°，且AB＝AC. 所以∠FAC＝∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ACB＝45°， 所以∠FBE＝∠CBE＝22.5°， 所以∠F＝∠ADB＝67.5°. 在△ABD和△ACF中， 所以△ABD≌△ACF(AAS)， 所以BD＝CF， 所以BD＝2CE. 【练习】 如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE，∠ABE＝3∠C，试说明：AC－AB＝2BE. 解：如图，延长BE交AC于点M. 因为BE⊥AE， 所以∠AEB＝∠AEM＝90°. 在△ABE中， 因为∠1＋∠3＋∠AEB＝180°， 所以∠3＝90°－∠1， 同理，∠4＝90°－∠2. 因为AE平分∠BAC， 所以∠1＝∠2， 所以∠3＝∠