2.2.1直线的倾斜角与斜率-【题型·技巧培优系列】2023-2024年高二数学同步精讲精练（人教B版2019选择性必修第一册）

2.2.1直线的倾斜角与斜率 题型1直线的倾斜角 2 题型2直线的斜率 4 题型3斜率与倾斜角的变化 5 题型4已知斜率求参数问题 8 题型5过两点求斜率取值范围 8 题型6过线段求斜率取值范围 9 题型7三点共线问题 10 知识点一.直线的倾斜角 1.定义：平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角. 2.规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为， 3.范围：[0,π) 知识点二.直线的斜率 1.定义：一般的，如果直线l的倾斜角为，则当时，称k=tan为直线l的斜率；当时，称直线l的斜率不存在. 2.公式：已知点、，是直线l上两个不同的点，则当时，直线l的斜率为，当时，直线l的斜率不存在. 知识点三.直线的方向向量 1.定义：一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合 ，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a//l 2.性质：①如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线. ②如果A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l上两个不同的点，则=(x2-x1,y2-y1)是直线l的一个方向向量. ③若为直线l的倾斜角，则（cos，sin）一定是直线l的一个方向向量. ④如果已知a=（u,v）为直线l的一个方向向量，则当u=0时，直线l的斜率不存在，倾斜角为90°；当u0时，直线l的斜率是存在的，直线l的斜率k=,即tan=. 知识点四.直线的法向量 一般的，如果表示非零向量的v的有向线段所在的直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l，一条直线的方向向量与法向量互相垂直. 题型1直线的倾斜角 【方法总结】 1.求直线倾斜角的方法及关注点 （1）定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角. （2）关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论. 2. 对直线倾斜角的理解 （1）由倾斜角定义可知倾斜角也是直线I向上的方向与x轴正方向所成的角 （2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度. （3）平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等. （4）当直线的倾斜角90°时，其正切值等于直线的斜率k，即k=tan. 【例题1】（多选）（2022秋·高二课时练习）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0 B．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为 C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大 【变式1-1】1.（2022秋·高二课时练习）已知点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】2.（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】3.（2022秋·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中）已知倾斜角为的直线与直线的夹角为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1-1】4.（2023·江苏·高二假期作业）已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向所成的角为，如图，则直线的倾斜角为________．    【变式1-1】5.（2023春·上海静安·高二上海市新中高级中学校考期中）将直线MN绕原点旋转60°得到直线，若直线的斜率1，则直线MN的倾斜角是______（结果用角度制表示）． 【变式1-1】6.(多选)（2022秋·高二课时练习）若直线与轴交于点，其倾斜角为，直线绕点顺时针旋转45°后得直线，则直线的倾斜角可能为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】7.（2023·全国·模拟预测）已知点，，则直线的倾斜角为______． 题型2直线的斜率 【例题2】（2023秋·高二课时练习）对于下列命题：①若是直线l的倾斜角，则；②若直线倾斜角为，则它斜率；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】1.（2023秋·贵州贵阳·高二统考期末）以下四个命题，正确的是（    ） A．若直线l的斜率为1，则其倾斜角为45°或135° B．经过两点的直线的倾斜角为锐角 C．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应 D．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 【变式2-1】2.（2023·江苏·高二假期作业）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．