课时达标检测(17) 抛物线的简单几何性质-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

课时达标检测(十七)　抛物线的简单几何性质 基础达标 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.以x轴为对称轴,顶点为坐标原点,焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是 (C) A.y2=8x B.y2=-8x C.y2=8x或y2=-8x D.x2=8y或x2=-8y 解析　依题意设抛物线方程为y2=±2px(p>0)。因为焦点与原点之间的距离为2,所以=2,所以2p=8,所以抛物线方程为y2=8x或y2=-8x。故选C。 2.若抛物线y2=2mx的焦点与圆x2+y2-4x=0的圆心重合,则m的值为 (D) A.-2 B.2 C.-4 D.4 解析　由抛物线方程y2=2mx可知其焦点为,0,将圆的方程变形为(x-2)2+y2=4可知其圆心为(2,0),根据题意可得=2,所以m=4。故选D。 3.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,且|AB|=8,那么抛物线方程为 (B) A.y2=2x B.y2=4x C.y2=8x D.y2=6x 解析　因为直线AB过焦点F,0,所以|AB|=x1+x2+p=6+p=8,所以p=2,所以抛物线方程为y2=4x。 4.若直线y=2x+与抛物线x2=2py(p>0)相交于A,B两点,则|AB|等于 (B) A.5p B.10p C.11p D.12p 解析　将直线方程代入抛物线方程,可得x2-4px-p2=0。设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4p,所以y1+y2=9p。因为直线过抛物线的焦点,所以|AB|=y1+y2+p=10p。故选B。 5.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与曲线x2+y2-4x-5=0相切,则p的值为 (A) A.2 B.1 C. D. 解析　曲线的方程可化为(x-2)2+y2=9,其表示圆心为(2,0),半径为3的圆,又抛物线的准线方程为x=-,所以由抛物线的准线与圆相切得2+=3,解得p=2。 6.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于M,N两点(M,N的横坐标不相等),弦MN的垂直平分线交x轴于点H,若|MN|=40,则|HF|= (D) A.14 B.16 C.18 D.20 解析　设M(x1,y1),N(x2,y2),弦MN的中点为G(x0,y0),H(xH,0),则所以=2p,所以=2p,则kMN===,所以弦MN的垂直平分线为y-y0=-(x-x0)。令y=0,则xH=x0+p,所以|HF|=x0+。又|MN|=x1+x2+p=2x0+p=40,所以|HF|=20。故选D。 二、多项选择题 7.抛物线y2=8x的焦点为F,点P在抛物线上,若|PF|=5,则点P的坐标可以为 (AB) A.(3,2) B.(3,-2) C.(-3,2) D.(-3,-2) 解析　设点P的坐标为(x,y),因为|PF|=5,所以x-(-2)=5,所以x=3。把x=3代入方程y2=8x,得y2=24,所以y=±2。所以点P的坐标为(3,±2)。 8.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线l交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点(点A在第一象限),则下列结论中正确的是 (AC) A.x1x2= B.+= C.若直线l的倾斜角为,则=3 D.若直线l的倾斜角为,则|AB|=4p 解析　抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,0,准线为x=-,当斜率不存在时,过焦点的直线的方程为x=,A,p,B,-p,此时x1x2=,+=+=,故B错误;当斜率存在时,设过焦点的直线方程为y=kx-,联立直线与抛物线方程得消去y得k2x2-(k2p+2p)x+=0,由根与系数的关系可得x1x2=,x1+x2=,故A正确;若直线l的倾斜角为,则k=,所以x1+x2==7p,所以|AB|=x1+x2+p=8p,故D错误;过A,B分别作准线的垂线,垂足分别为M,N,作BE⊥AM,垂足为E,设|AF|=m,|BF|=n,则由抛物线的定义得|AM|=|AF|=m,|BN|=|BF|=n,|AB|=m+n,|AE|=m-n,因为∠EAB=60°,所以=,解得m=3n,则==3,故C正确。综上,正确的有AC。 三、填空题 9.设焦点为F1,F2的椭圆+=1(a>0)上的一点P也在抛物线y2=x上,抛物线的焦点为F3,若|PF3|=,则△PF1F2的面积是 2 。  解析　 由对称性,不妨设点P在x轴的上方,|PF3|=xP+=,所以xP=2,即P(2,),代入椭圆方程解得a2=8,所以c2=a2-b2=8-4=4,即c=2,所以|F1F2|=4,=×4×=2。 10.已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴。若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为 (1