课时达标检测(16) 抛物线及其标准方程-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

课时达标检测(十六)　抛物线及其标准方程 基础达标 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.在平面内,“点P到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的 (B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　当定点在定直线上时,点P的轨迹是过该定点且与定直线垂直的直线;若点P的轨迹为抛物线,由抛物线的定义知点P到某定点的距离等于其到某定直线的距离。故选B。 2.已知动点M的坐标满足方程5=|3x+4y-12|,则动点M的轨迹是 (C) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 解析　方程5=|3x+4y-12|可化为=,它表示点M到坐标原点O的距离等于它到直线3x+4y-12=0的距离,由抛物线的定义,可知动点M的轨迹是抛物线。故选C。 3.抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程是y=2,则a的值为 (B) A. B.- C.8 D.-8 解析　因为y=ax2(a≠0)化为标准方程为x2=y,其准线方程为y=2,所以2=,所以a=-。故选B。 4.顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,又过点(-2,3)的抛物线方程是 (D) A.y2=x B.x2=y C.y2=-x或x2=-y D.y2=-x或x2=y 解析　因为点(-2,3)在第二象限,所以设抛物线方程为y2=-2px(p>0)或x2=2p'y(p'>0)。又点(-2,3)在抛物线上,所以9=4p,p=或4=6p',p'=,从而所求抛物线方程为y2=-x或x2=y。故选D。 5.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的方程为 (C) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x 解析　因为抛物线C的方程为y2=2px(p>0),所以焦点F,0。设M(x,y),由抛物线的定义,知|MF|=x+=5,得x=5-。因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式,可得圆心的横坐标为。由已知,得圆的半径也为,所以该圆与y轴相切于点(0,2),故圆心的纵坐标为2,则点M的纵坐标为4,即M5-,4,代入抛物线方程,得p2-10p+16=0,解得p=2或p=8。所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x。故选C。 6.已知M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线C的焦点,过M作抛物线C的准线的垂线,垂足为N,若∠MFO=120°(O为坐标原点),△FMN的周长为12,则|NF|= (A) A.4 B. C.3 D.5 解析　因为∠MFO=120°,所以∠FMN=60°。又M是抛物线C上一点,所以|FM|=|MN|,则△FMN是等边三角形。又△FMN的周长为12,所以|NF|==4。故选A。 二、多项选择题 7.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点P(m,-2)到焦点的距离为4,则m的值可以为 (AD) A.-4 B.-2 C.2 D.4 解析　由题可设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),由定义知点P到准线的距离为4,故+2=4,所以p=4,所以x2=-8y,将点P的坐标代入x2=-8y,得m2=-8×(-2),解得m=±4。 8.对标准形式的抛物线给出下列条件,其中满足抛物线方程为y2=10x的是 (BD) A.焦点在y轴上 B.焦点在x轴上 C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 D.由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1) 解析　抛物线y2=10x的焦点在x轴上,B满足,A不满足;设M(1,y0)是y2=10x上一点,则|MF|=1+=1+=≠6,所以C不满足;由于抛物线y2=10x的焦点为,0,设过该焦点的直线方程为y=kx-,当由原点向该直线作垂线,垂足为(2,1)时,k=-2,此时满足条件的直线存在,所以D满足。故选BD。 三、填空题 9.抛物线方程为7x+4y2=0,则焦点坐标为 -,0 。  解析　抛物线方程化为y2=-x,所以抛物线开口向左,2p=,=,故焦点坐标为-,0。 10.以椭圆+y2=1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为 y2=4x 。  解析　由+y2=1得右焦点为(,0),所以抛物线的标准方程为y2=4x。 11.与圆x2+y2-4x=0外切,且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是 y2=8x(x>0)或y=0(x<0) 。  解析　若动圆在y轴右侧,则动圆圆心到定点(2,0)与到定直线x=-2的距离相等,其轨迹是除去顶点的抛物线;若动圆在y轴左侧,则动圆圆心轨迹是x轴的负半轴。 四、解答题 12.已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,且这条准线与双曲线的两个焦点的连线