课时达标检测(15) 双曲线的简单几何性质-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

课时达标检测(十五)　双曲线的简单几何性质 基础达标 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是 (C) A.2 B.2 C.4 D.4 解析　双曲线方程可变形为-=1,所以a2=4,a=2,从而2a=4。故选C。 2.已知双曲线-y2=1(a>0)的离心率是,则a= (D) A. B.4 C.2 D. 解析　因为双曲线的离心率e==,c=,所以=,解得a=。故选D。 3.若双曲线与椭圆+=1有相同的焦点,它的一条渐近线方程为y=-x,则双曲线的方程为 (D) A.y2-x2=96 B.y2-x2=160 C.y2-x2=80 D.y2-x2=24 解析　设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0),因为双曲线与椭圆有相同的焦点,且焦点为(0,±4),所以λ<0,且-2λ=(4)2,得λ=-24。故选D。 4.若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为 (B) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析　因为双曲线一个顶点的坐标为(0,2),所以a=2,所以双曲线的标准方程为-=1。根据题意,得解得b=2,所以双曲线的标准方程为-=1。故选B。 5.若双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为 (D) A. B. C. D. 解析　由题意知=,则e2=1+=,所以e=。故选D。 6.如果椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,那么双曲线-=1的离心率为 (A) A. B. C. D.2 解析　由椭圆的离心率为,得=,所以a2=4b2。所以在双曲线中,e2===。所以双曲线的离心率e=。故选A。 二、多项选择题 7.已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线C的方程可能为 (ABD) A.-y2=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析　依题意,知渐近线与x轴的夹角为30°或60°,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x或y=±x,根据选项检验可知ABD均可能。 8.已知F1,F2分别是双曲线C:y2-x2=1的上、下焦点,点P是其一条渐近线上的点,且以线段F1F2为直径的圆经过点P,则 (ACD) A.双曲线C的渐近线方程为y=±x B.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1 C.点P的横坐标为±1 D.△PF1F2的面积为 解析　等轴双曲线C:y2-x2=1的渐近线方程为y=±x,故A正确。由双曲线的方程可知|F1F2|=2,所以以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2,故B错误。点P(x0,y0)在圆x2+y2=2上,不妨设点P(x0,y0)在直线y=x上,所以解得|x0|=1,则点P的横坐标为±1,故C正确。由上述分析可得△PF1F2的面积为×2×1=,故D正确。故选ACD。 三、填空题 9.已知点(2,3)在双曲线C:-=1(a>0,b>0)上,C的焦距为4,则它的离心率为 2 。  解析　由题意知-=1,c2=a2+b2=4,解得a=1,所以e==2。 10.设双曲线C经过点(2,2),且与-x2=1具有相同的渐近线,则C的方程为 -=1 ,渐近线方程为 y=±2x 。  解析　设双曲线C的方程为-x2=λ。将点(2,2)的坐标代入,得λ=-3,所以双曲线C的方程为-=1。令-x2=0,得y=±2x,即渐近线方程为y=±2x。 11.已知定点A,B,且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为  。  解析　 如图所示,点P是以A,B为焦点的双曲线的右支上的点,当P在M处时,|PA|最小,最小值为a+c=+2=。 四、解答题 12.求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)焦点在y轴上,虚轴长为8,离心率为e=; (2)经过点C(-,),且与双曲线-=1有共同的渐近线。 解　(1)设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则2b=8,e==,从而b=4,代入c2=a2+b2,得a2=9,故所求双曲线的标准方程为-=1。 (2)由题意可设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0),将点C(-,)的坐标代入,得-=λ,解得λ=,所以所求双曲线的标准方程为-=1。 13.已知点A(-,0)和B(,0),动点C到A,B两点的距离之差的绝对值为2。 (1)求点C的轨迹方程; (2)点C的轨迹与经过点(2,0)且斜率为1的直线交于D,E两点,求线段DE的长。 解　(1)因为点A(-,0)和B(,0),动点C到A,B两点的距离之差的绝对值为2,|AB|=2>2。所以点C的轨迹方程是以A(-,0)和B(,0)为焦点的双曲线,且a=1,c=,b=,所以点C的轨迹方程是x2-=1。 (2)因为点C的轨迹方程是2x2-y2=2,经过点(2,0)且斜率为1的直线的方程为y=