课时达标检测(14) 双曲线及其标准方程-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

课时达标检测(十四)　双曲线及其标准方程 基础达标 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.双曲线-=1的焦距为 (D) A.3 B.4 C.2 D.4 解析　由双曲线的标准方程可知,a2=10,b2=2,于是有c2=a2+b2=12,则c=2,2c=4。故选D。 2.已知双曲线+=1的焦点在x轴上,若该双曲线的焦距为4,则a等于 (C) A.1 B. C.4 D.10 解析　根据题意可知,双曲线的标准方程为-=1。由双曲线的焦距为4,得c=2,则有c2=a-3+a-1=4,解得a=4。 3.半径不等的两定圆O1,O2无公共点(O1,O2是两个不同的点),动圆O与圆O1,O2都内切,则圆心O的轨迹是 (D) A.双曲线的一支 B.椭圆或圆 C.双曲线的一支或椭圆或圆 D.双曲线的一支或椭圆 解析　两定圆O1,O2无公共点,则它们的位置关系是外离或内含。设两定圆O1,O2的半径分别为r1,r2(r1>r2),圆O的半径为R。又圆O与圆O1,O2都内切,则当两圆O1,O2外离时,|OO1|=R-r1,|OO2|=R-r2,所以|OO2|-|OO1|=r1-r2<|O1O2|,此时圆心O的轨迹是双曲线的一支;当两圆O1,O2内含时,|OO1|=r1-R,|OO2|=R-r2,所以|OO2|+|OO1|=r1-r2>|O1O2|,此时圆心O的轨迹是椭圆。故选D。 4.已知双曲线-=1(m>n>0)和椭圆+=1有相同的焦点,则+的最小值为 (D) A.2 B.4 C.6 D.9 解析　易知椭圆+=1的焦点在x轴上,且c2=5-4=1。因为双曲线-=1(m>n>0)和椭圆+=1有相同的焦点,所以m+n=1(m>n>0),所以+=+(m+n)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即m=,n=时取等号。所以+的最小值为9。故选D。 5.已知在双曲线-=1左支上有一点M到右焦点F2的距离为18,N是线段MF2的中点,O为坐标原点,则|ON|等于 (A) A.4 B.2 C.1 D. 解析　 如图,设双曲线的左焦点为F1,连接MF1。因为O,N分别是线段F1F2,MF2的中点,所以|ON|=|MF1|。又|MF2|-|MF1|=2a=10,所以|MF1|=|MF2|-10=18-10=8,所以|ON|=4。故选A。 6.已知椭圆+=1和双曲线-y2=1的公共焦点为F1,F2,P是两曲线的一个交点,那么cos∠F1PF2的值是 (A) A. B. C. D. 解析　不妨设点P在第一象限,F1,F2分别为左、右焦点,因为P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=2。又P在双曲线上,所以|PF1|-|PF2|=2,两式联立,得|PF1|=+,|PF2|=-。又|F1F2|=4,所以根据余弦定理可以求得cos∠F1PF2=。故选A。 二、多项选择题 7.双曲线-=1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离可能是 (CD) A.7 B.17 C.22 D.2 解析　因为a2=25,所以a=5。设该点为P,双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,由双曲线定义可得||PF1|-|PF2||=10。由题意设|PF1|=12,则|PF1|-|PF2|=±10,解得|PF2|=22或2。故选CD。 8.已知方程+=1表示的曲线为C。给出以下判断,其中正确的是 (BCD) A.当1<t<4时,曲线C表示椭圆 B.当t>4或t<1时,曲线C表示双曲线 C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1<t< D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线,则t>4 解析　A错误,当t=时,曲线C表示圆;B正确,若C为双曲线,则(4-t)(t-1)<0,所以t<1或t>4;C正确,若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则4-t>t-1>0,所以1<t<;D正确,若曲线C为焦点在y轴上的双曲线,则所以t>4。故选BCD。 三、填空题 9.若曲线+=1表示双曲线,则k的取值范围是 (0,1) 。  解析　依题意应有k(k-1)<0,解得0<k<1。 10.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:2x2-y2=1。设F是C的左焦点,M是C右支上一点。若|MF|=2,则点M的坐标为 ,± 。  解析　双曲线C:-y2=1,a2=,b2=1,所以c==,故双曲线的左焦点F-,0。设点M的坐标为(x,y),则|MF|2=x+2+y2=x+2+2x2-1=x+2。由点M是双曲线C右支上的一点,知x>0,所以|MF|=x+=2,解得x=,y=±=±,所以点M的坐标为,±。 11.已知动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成△MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4。设动点M的轨迹为C,则轨迹C的方程为 x2-=1(y≠0) 。  解析　设点M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当