第3章 4.3 第1课时 空间中的角-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系 第1课时　空间中的角 情境导入 课程标准 　　地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”,在地球公转的同时自身也绕“地轴”自转,地轴与地球的赤道面垂直,黄道面与赤道面的交角称为“黄赤交角”,黄赤交角约为23°26'。则地轴与黄道面的交角是多少? 1.理解直线与平面所成角的概念。 2.会用向量法求线线、线面、面面夹角。 3.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系。 自主预习明新知 1.两条直线所成的角 若向量a,b分别为直线a,b的方向向量,则直线a与b所成的角θ∈0,,且θ与两个方向向量所成的角<a,b>相等或互补。也就是说: 当0≤<a,b>≤时,θ=<a,b>; 当<<a,b>≤π时,θ=π-<a,b>。 故cos θ=|cos<a,b>|。 2.直线与平面所成的角 由图①和图②不难看出:直线与平面所成的角和直线与平面的垂线所成的角互余。 ①　② 设向量 l为直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则直线l与平面α所成的角θ∈0,,且θ=-<l,n>(如图①)或θ=<l,n>-(如图②),故sin θ=|cos<l,n>|。 3.两个平面所成的角 一般地,已知n1,n2分别为平面α,β的法向量,则二面角α⁃l⁃β的平面角与两法向量所成角<n1,n2>相等(如图①)或互补(如图②)。 ①　② 微提醒 1.由角θ与<l,n>的关系,利用诱导公式可知,在直线与平面所成的角的向量计算公式中,三角函数名是角θ的正弦,而非余弦。 2.当两个法向量相对于二面角α⁃l⁃β一个指内,一个指外时,两法向量所成角<n1,n2>即二面角的平面角θ;当两法向量相对于二面角α⁃l⁃β同时指外或同时指内时,两法向量所成角<n1,n2>的补角即二面角的平面角θ。故|cos θ|=|cos<n1,n2>|=。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　异面直线所成的角 　　【例1】　 如图,已知两个正四棱锥P⁃ABCD与Q⁃ABCD的高分别为1和2,AB=4,则异面直线AQ与PB所成角的余弦值为  。  解析　 由题设知,四边形ABCD是正方形,连接AC,BD,交于点O,则AC⊥BD。连接PQ,则PQ过点O。由正四棱锥的性质知PQ⊥平面ABCD,故以O为坐标原点,以直线CA,DB,QP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),A(2,0,0),Q(0,0,-2),B(0,2,0),所以=(-2,0,-2),=(0,2,-1)。于是cos<,>==。所以异面直线AQ与PB所成角的余弦值为。 　　利用向量法求两条异面直线所成角的步骤:(1)确定两条异面直线的方向向量;(2)确定两个向量夹角的余弦值;(3)比较余弦值与0的大小,以确定向量夹角的范围;(4)确定异面直线所成的角与向量夹角的关系,得出两条异面直线所成的角。 【变式训练】　正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,A1C1的中点,则异面直线AE与CF所成角的余弦值是  。  解析　 不妨设正方体棱长为2,分别取DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2),F(1,1,2),则=(-1,0,2),=(1,-1,2),所以||=,||=,·=-1+0+4=3。所以cos<,>==。所以异面直线AE与CF所成角的余弦值为。 类型二　直线与平面所成的角 　　【例2】　 如图所示,三棱锥P⁃ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点。 (1)证明:CM⊥SN; (2)求SN与平面CMN所成角的大小。 解　设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系。则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),又AN=AB,M,S分别为PB,BC的中点,所以N,0,0,M1,0,,S1,,0, (1)证明:=1,-1,,=-,-,0,所以·=1,-1,·-,-,0=0,因此CM⊥SN。 (2)=-,1,0,设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,所以·a=0,·a=0。则所以取y=1,得a=(2,1,-2)。a·=-1-=-,|a|==3,||==,所以cos<a,>==-。设SN与平面CMN所成的角为θ,则sin θ=|cos<a,>|=,θ=,所以直线SN与平面CMN所成的角为。 　　利用法向量求直线与平面的夹角的步骤:(1)建立空间直角坐标系;(2)求直线的方向向量;(3)求平面的法向量n;(4)计算:设线面角为θ,则sin θ=。 　　【变式训练】　 如图所