第3章 4.2 用向量方法讨论立体几何中的位置关系-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

4.2　用向量方法讨论立体几何中的位置关系 情境导入 课程标准 　　牌楼与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝。在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造。旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种,多设于要道口。牌楼中有一种柱门形结构,一般较高大。如图所示, 牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行。这是为什么呢? 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系。 2.能用向量的方法证明有关直线、平面的平行、垂直关系。 自主预习明新知 1.用向量方法讨论立体几何中的位置关系 设向量l,m分别是直线l,m的方向向量,n1,n2分别是平面α,β的法向量,则 l∥m或l与m重合⇔l∥m; l∥α或l⊂α⇔l⊥n1; α∥β或α与β重合⇔n1∥n2; l⊥m⇔l⊥m; l⊥α⇔l∥n1; α⊥β⇔n1⊥n2。 2.三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理。 若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直,则它也和这条斜线垂直。 (2)三垂线定理的逆定理。 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　向量法证线线平行、垂直 　　【例1】　 如图,在四棱锥P⁃ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点。求证:EF⊥CD。 证明　以DA,DC,DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图),设AD=a,则D(0,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),Ea,,0,P(0,0,a),F,,,所以=-,0,,=(0,a,0),因为·=-,0,·(0,a,0)=0,所以EF⊥DC。 　　用向量判断两条直线是否平行、垂直的方法:(1)两直线的方向向量共线,则两直线平行,检查两直线的方向向量共线一般看其对应坐标是否成比例。(2)在两直线上分别取两点A,B与C,D,计算向量与的坐标,若·=0,则两直线垂直,否则不垂直。 【变式训练】　 如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,棱长为2,M,N分别为A1B,AC的中点。求证:MN∥B1C。 　　证明　 证法一:如图,以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。则A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),M(2,1,1),N(1,1,0),所以=(-1,0,-1),=(-2,0,-2)。所以=2,所以∥,所以MN∥B1C。 证法二:如图,取空间一组基{,,},设=a,=b,=c,则=b-c,=++=(c-a)+(-c)+(a+b)=(b-c),所以=,所以∥,所以MN∥B1C。 类型二　向量法证线面平行、垂直 　　命题方向1:向量法证线面平行 　　【例2】　 如图,在四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,且点M和N分别为B1C和D1D的中点。求证:MN∥平面ABCD。 证明　 如图,以A为原点建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),B1(0,1,2),D1(1,-2,2)。因为M,N分别为B1C,D1D的中点,所以M1,,1,N(1,-2,1)。依题意,可得n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量,又=0,-,0,则·n=0,又直线MN⊄平面ABCD,所以MN∥平面ABCD。 　　利用空间向量证明线面平行一般有三种方法:(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一组基表示。(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行判定定理得证。(3)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直。 【变式训练】　 如图所示,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,求证:B1C∥平面ODC1。 证明　证法一:建立空间直角坐标系D⁃xyz,如图所示,设正方体的棱长为1,则可得B1(1,1,1),C(0,1,0),O,,1,C1(0,1,1),D(0,0,0),所以B1=(-1,0,-1),=,O=-,,0。设平面ODC1的一个法向量为n=(x0,y0,z0),由得令x0=1得n=(1,1,-1),B1·n=-1+1=0,所以B1⊥n,又B1C⊄平面ODC1,所以B1C∥平面ODC1。 证法二:因为B1=B1+B1=B1+O+D1+=O+,所以B1,O,共面。又B1C⊄平面ODC1,所以B1C∥平面ODC1。 证法三:因为B1=A1,B1∉A1D,所以B1C∥A1D