第3章 3.2 空间向量运算的坐标表示及应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

3.2　空间向量运算的坐标表示及应用 情境导入 课程标准 　　一块巨石从山顶坠落,挡住了前面的路,抢修队员紧急赶到从三个方向拉巨石。这三个力分别为F1,F2,F3,它们两两垂直,且|F1|=3 000 N,|F2|=2 000 N,|F3|=2 000 N。 1.若以F1,F2,F3的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则巨石所受合力F的坐标是什么? 2.巨石受到的合力有多大? 1.掌握空间向量线性运算的坐标表示。 2.掌握空间向量数量积的坐标表示。 自主预习明新知 1.空间向量运算的坐标表示 (1)空间向量的坐标表示。 在空间直角坐标系O⁃xyz中,分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i,j,k,这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一组基{i,j,k},这组基叫作标准正交基。 根据空间向量基本定理,对于任意一个向量p,都存在唯一的三元有序实数组(x,y,z),使得p=xi+yj+zk。 反之,任意给出一个三元有序实数组(x,y,z),也可找到唯一的一个向量p=xi+yj+zk与之对应。这样,就在空间向量与三元有序实数组之间建立了一一对应的关系,把三元有序实数组(x,y,z)叫作向量p在标准正交基{i,j,k}下的坐标,记作p=(x,y,z)。单位向量i,j,k都叫作坐标向量。 设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=-=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)。即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 (2)空间向量运算的坐标表示。 设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2), ①a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2); ②a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2); ③λa=(λx1,λy1,λz1),λ∈R; ④a·b=x1x2+y1y2+z1z2。 2.空间向量平行(共线)和垂直的条件 设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)。 (1)当b≠0时,a∥b⇔∃λ∈R,使得当b与三个坐标平面都不平行(即x2y2z2≠0)时,a∥b⇔==。 (2)a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0。 3.空间向量长度与夹角的坐标表示 设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2), (1)|a|==。若点A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则|AB|=||=。 (2)cos<a,b>==(a≠0,b≠0)。 微思考 1.若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),a∥b,则一定有==成立吗? 提示:不一定,当b1,b2,b3存在取0值时不成立。 2.当0<cos<a,b><1,及-1<cos<a,b><0时,夹角的范围是? 提示:当0<cos<a,b><1时,0<<a,b><,为锐角。 当-1<cos<a,b><0时,<<a,b><π,为钝角。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　空间向量的坐标运算 　　【例1】　(1)已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求a+b,a-b,a·b,(2a)·(-b),(a+b)·(a-b)。 解　a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1-1,-2+4)=(2,-2,2);a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2-0,-1+1,-2-4)=(2,0,-6);a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=-7;(2a)·(-b)=-2(a·b)=-2×(-7)=14;(a+b)·(a-b)=(2,-2,2)·(2,0,-6)=2×2+(-2)×0+2×(-6)=-8。 (2)已知△ABC中,点A(2,-5,3),=(4,1,2),=(3,-2,5),求顶点B,C的坐标及。 解　设点B(x,y,z),C(x1,y1,z1),所以=(x-2,y+5,z-3),=(x1-x,y1-y,z1-z)。因为=(4,1,2),所以解得所以B的坐标为(6,-4,5)。因为=(3,-2,5),所以解得所以C的坐标为(9,-6,10),=(-7,1,-7)。 　　关于空间向量坐标运算的两类问题:(1)直接计算问题:首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量坐标运算公式计算。(2)由条件求向量或点的坐标:首先把向量用坐标形式设出来,然后通过建立方程(组),解方程(组)求出其坐标。 【变式训练】　(1)已知a=(1,0,-1),b=(1,-2,2),c=(-2,3,-1),则a-b+2c= (-4,8,-5) 。  解析　a-b+2c=(1,0,-1)-(1,-2,2)+2(-2,3,-1)=(-4,8,-5)。 (2)已知a=(1,1,