第3章 2 第2课时 空间向量的数量积-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

第2课时　空间向量的数量积 情境导入 课程标准 　　已知两个非零向量a与b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB=θ叫作向量a与b的夹角。 如果a与b的夹角为90°,则称a与b垂直,记作a⊥b,已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,把a·b=|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积)。 两个空间向量的夹角以及它们的数量积能否像平面向量那样来定义呢? 1.掌握空间向量数量积的定义及性质。 2.掌握投影向量的定义及空间向量数量积的运算律。 3.能利用空间向量数量积解决简单的立体几何问题。 自主预习明新知 1.两个向量的夹角 已知两个非零向量a,b(如图),在空间中任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫作向量a与b的夹角,记作<a,b>。 通常规定0≤<a,b>≤π。 在此规定之下,两个向量的夹角被唯一确定,并且<a,b>=<b,a>。 当<a,b>=0时,向量a与b方向相同; 当<a,b>=π时,向量a与b方向相反; 当<a,b>=时,称向量a,b互相垂直,记作a⊥b。 规定:零向量与任意向量垂直。 2.两个向量的数量积 (1)两个向量的数量积的定义。 已知两个空间向量a,b,把|a||b|cos<a,b>叫作a与b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos<a,b>。 与平面向量类似,空间向量的数量积也是一个实数。 (2)空间向量数量积的性质。 ①cos<a,b>=(a≠0,b≠0); ②|a|=; ③a⊥b⇔a·b=0。 (3)空间向量的数量积运算满足的运算律。 ①交换律:a·b=b·a。 ②分配律:a·(b+c)=a·b+a·c。 ③(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R)。 3.投影向量与投影数量 如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,过点B作直线OA的垂线,垂足为点B1,称向量为向量b在向量a方向上的投影向量,其长度等于||b|cos<a,b>|。 当<a,b>为锐角时,|b|cos<a,b>>0; 当<a,b>为钝角时,|b|cos<a,b><0; 当<a,b>=时,|b|cos<a,b>=0。 若用a0表示与向量a(a≠0)同方向的单位向量即a0=,则向量b在向量a方向上的投影向量为=|b|cos<a,b>a0。 因此,称|b|cos<a,b>为投影向量的数量,简称为向量b在向量a方向上的投影数量。 结合空间向量数量积的定义可知:向量b在向量a方向上的投影数量为|b|cos<a,b>==a0·b。 微提醒 向量的夹角与直线夹角范围的区别:两向量夹角的范围为[0,π],两直线夹角的范围为。 空间向量数量积不满足结合律。 微思考 1.<a,b>,<-a,b>,<a,-b>,<-a,-b>,它们有什么关系? 提示:<-a,b>=<a,-b>=π-<a,b>;<-a,-b>=<a,b>。 2.由a·b=a·c能得到b=c吗? 提示:不能。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　空间向量的数量积运算 　　【例1】　已知正四面体OABC的棱长为1,如图所示。求: (1)·; (2)(+)·(+)。 解　在正四面体OABC中,||=||=||=1。<,>=<,>=<,>=60°。 (1)·=||||cos∠AOB=1×1×cos 60°=。 (2)(+)·(+)=(+)·(-+-)=(+)·(+-2)=+2·-2·+-2·=12+2×1×1×cos 60°-2×1×1×cos 60°+12-2×1×1×cos 60°=1+1-1+1-1=1。 　　求空间向量数量积的步骤:(1)将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清;(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角余弦值的乘积;(3)代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解。 【变式训练】　(1)已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则a·b= (A) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　因为p⊥q且|p|=|q|=1,所以a·b=(3p-2q)·(p+q)=3p2+p·q-2q2=3+0-2=1。 (2)已知棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1,则·的值为 (C) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析　=+=+(+)=+(+),=+,则·=(||2+||2)=1。故选C。 类型二　利用空间向量数量积求夹角 　　【例2】　如图,在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,求OA与BC所成角的余弦值。 解　因为=-,所以·=·-·=||||cos<,>-||||·cos<,>=8×4×cos 135°-8×6×cos 120°=-16+24。所以cos<,>===,即OA与BC