第3章 2 第1课时 从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

§2　空间向量与向量运算 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 情境导入 课程标准 　　第六届中国国际进口博览会将于2023年11月5日至10日在国家会展中心(上海)举办。某参展商打算在博览会结束 后从会展中心(O)出发乘车到外滩(A)观赏黄浦江,然后抵达东方明珠(B)游玩,最后登上东方明珠(D)俯瞰上海美丽的夜景,如图所示。该参展商的合位移如何用向量表示? 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念。 2.经历由平面向量的线性运算及其法则推广到空间向量的过程,了解空间向量的运算法则。 自主预习明新知 1.空间向量的概念及表示方法 (1)空间向量的概念。 与平面向量类似,在空间中,我们把具有大小和方向的量叫作空间向量。 (2)空间向量的表示。 与平面向量类似,空间向量也有两种表示法:①用有向线段来表示,如以点A为起点、点B为终点的有向线段可以表示一个向量,记作向量。点A叫作向量的起点,点B叫作向量的终点,有向线段的方向表示向量的方向。②用a,b,c,…表示,书写用,,,…表示。 (3)向量的长度或模。 向量的大小叫作向量的长度或模。表示向量 a的有向线段的长度也叫作向量a的长度或模,用|a|表示。 (4)几类特殊的空间向量。 名称 定义及表示 零向量 模为0的向量叫作零向量,记为0。 规定:零向量与任意向量平行 单位向量 模为1的向量叫作单位向量 相反向量 方向相反且模相等的向量互为相反向量,向量a的相反向量用-a表示 相等向量 方向相同且模相等的向量叫作相等向量 共线向量 (平行向量) 当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时,称这两个向量互为共线向量(或平行向量) 共面向量 平行于同一平面的向量,叫作共面向量 2.空间向量的加、减、数乘运算及其运算律 加法 a+b=+= 减法 a-b=-= 数乘 向量λa的长度和方向满足: (1)|λa|=|λ||a|; (2)当λ>0时,向量λa与向量a方向相同;当λ<0时,向量λa与向量a方向相反;当λ=0时,λa=0 线性运 算的运 算律 (1)交换律:a+b=b+a; (2)结合律:a+(b+c)=(a+b)+c,λ(μa)=(λμ)a; (3)分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb。(λ,μ∈R) 3.共线向量基本定理(也称“一维向量基本定理”) 空间两个向量a,b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ,使得a=λb。 4.共面向量定理 已知空间向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一有序实数对(x,y),使p=xa+yb。 微提醒 共面向量定理的推论:已知空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若点P满足向量关系式=x+y+z,其中x+y+z=1,则P,A,B,C四点共面。 微思考 1.共面向量是不是向量在同一平面内? 提示:共面向量是指与同一平面平行的向量,可将共面向量平移到同一个平面内。共面向量所在的直线可能相交、平行或异面。 2.空间任意两个向量是否一定共面?三个向量呢? 提示:空间任意两个向量总是共面的,空间任意三个向量可能共面,也可能不共面。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　空间向量的有关概念 　　【例1】　(1)下列说法中正确的是 (D) A.单位向量都相等 B.任一向量与它的相反向量不相等 C.若|a|=|b|,则a与b的长度相等,方向相同或相反 D.若a与b是相反向量,则|a|=|b| 解析　若单位向量的方向不同,则不是相等的单位向量,A不正确;0与它的相反向量相同,B不正确;若|a|=|b|,只表示a与b的长度相等,方向不一定相同或相反,C不正确;相反向量的长度一定相等,D正确。 (2)如图所示,以长方体ABCD⁃A1B1C1D1的8个顶点中的两点为起点和终点的向量中: ①试写出与相等的所有向量; ②试写出的相反向量; ③若|AB|=|AD|=2,|AA1|=1,求向量的模。 解　①与向量相等的所有向量(除它自身之外)有,及。 ②向量的相反向量为,,,。 ③||====3。 　　利用向量的概念解题时的注意点:(1)熟练掌握空间向量的有关概念是解决问题的关键;(2)判断有关向量的命题时,要抓住向量的两个主要元素:大小和方向,两者缺一不可,相互制约。 【变式训练】　(多选)下列命题是真命题的是 (CD) A.两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同 B.若向量,满足||>||,则> C.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,必有= D.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p 解析　A是假命题,当两向量起点相同,终点相同时两向量相等,但两向量相等不一定起点相同,终点相同