第3章 1 空间直角坐标系-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

第三章　空间向量与立体几何 §1　空间直角坐标系 情境导入 课程标准 　　我们知道数轴上的任意一点M都可用与它对应的一个实数表示;在直角坐标平面上任意一点M可用一个有序实数对(x,y)表示。如图,怎样确切的表示室内电灯的位置? 1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置。 2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两点间的距离公式。 自主预习明新知 1.空间直角坐标系 如图,过空间任意一点O,作三条两两垂直的直线,并以O为原点,在三条直线上分别建立数轴:x轴、y轴、z轴,这样就建立了一个空间直角坐标系O⁃xyz。其中点O叫作坐标原点,x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作坐标轴。通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面 在平面上画空间直角坐标系O⁃xyz时,一般使∠xOy=135°,∠yOz=90° 一般是将x轴和y轴放置在水平面上,那么z轴就垂直于水平面。它们的方向通常符合右手螺旋法则,即伸出右手,让四指与大拇指垂直,并使四指先指向x轴正方向,然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向,此时大拇指的指向即为z轴正方向。我们也称这样的坐标系为右手系 2.点在空间直角坐标系中的坐标 空间一点P的坐标可用唯一的一个三元有序实数组(x,y,z)来表示,三元有序实数组(x,y,z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标,记作P(x,y,z),其中x叫作点P的横坐标,y叫作点P的纵坐标,z叫作点P的竖坐标。 3.空间两点间的距离公式 (1)点P(x,y,z)到坐标原点O(0,0,0)的距离|OP|=。 (2)空间中任意两点P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)间的距离|PQ|=。 微思考 1.x轴、y轴、z轴上的点的坐标有何特点?xOy平面上、yOz平面上、zOx平面上的点的坐标有何特点? 提示:x轴上的点的坐标可表示为(x,0,0),y轴上的点的坐标可表示为(0,y,0),z轴上的点的坐标可表示为(0,0,z),xOy平面上的点的坐标可表示为(x,y,0),yOz平面上的点的坐标可表示为(0,y,z),zOx平面上的点的坐标可表示为(x,0,z)。 2.已知r为定值,那么x2+y2+z2=r2表示什么图形? 提示:由距离公式知,当r≠0时,表示以原点为球心,|r|为半径的球面;当r=0时,表示坐标原点。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　空间中点的坐标的确定 　　【例1】　在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,|AD|=3,|AB|=5,|AA1|=4,建立适当的坐标系写出此长方体各顶点的坐标。 解　 如图,以D为原点,DA所在直线为x轴,以DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系O⁃xyz。所以D(0,0,0)。已知长方体的棱长|AD|=3,|DC|=|AB|=5,|DD1|=|AA1|=4,因为点A在x轴上,且|AD|=3,则它的横坐标为3,又它的纵坐标和竖坐标都为0,所以点A的坐标为(3,0,0)。同理,C(0,5,0),D1(0,0,4)。点B在x轴、y轴、z轴的投影分别为A,C,O,所以点B的坐标为(3,5,0)。同理得A1(3,0,4),C1(0,5,4)。由B1在xOy平面内的投影为B(3,5,0),所以B1的横坐标为3,纵坐标为5,因为B1在z轴上的投影为D1(0,0,4),所以B1的竖坐标为4,所以点B1的坐标为(3,5,4)。 　　建系确定点坐标的原则:(1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则:①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内;②充分利用几何图形的对称性。(2)求某点的坐标时,一般先找这一点在坐标轴(坐标平面)的投影,确定坐标轴(坐标平面)上点的坐标,再找出它在另两个轴上的投影,确定点的坐标。 【变式训练】　如图,棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E是AB的中点,F是BB1的中点,G是AB1的中点,试建立适当的坐标系,并确定E,F,G三点的坐标。 解　如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系D⁃xyz,E点在xDy平面中,则它的竖坐标为0,又E点在y轴上的投影是E'点,为DC的中点,所以|DE'|=|EA|=,则它的纵坐标为,E点在x轴上的投影是A点,|AD|=1,则它的横坐标为1。所以E点的坐标为1,,0。同理B点和B1点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1),因为F是BB1的中点,故F点坐标为1,1,。同理可得G点坐标为1,,。 类型二　求空间对称点的坐标 　　【例2】　在空间直角坐标系中,已知点P(-2,1,4)。