第2章 3.2 抛物线的简单几何性质 -【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

3.2　抛物线的简单几何性质 情境导入 课程标准 　　一只很小的灯泡发出的光,会分散地射向各方,但 把它装在手电筒里,经过适当调节,就能射出一束较强的平行光,这是什么原因呢? 1.掌握抛物线的几何性质。 2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题。 3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题。 自主预习明新知 抛物线的简单几何性质 标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 图象 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 对称 轴 x轴 x轴 y轴 y轴 续表 标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 焦点 坐标 准线 方程 x=- x= y=- y= 顶点 坐标 O(0,0) 离心 率 e=1 微思考 过焦点垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段长度是多少? 提示:这条线段是抛物线的通径,长度为2p,借助于通径可以画出较准确的抛物线。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　由抛物线的几何性质求标准方程 　　【例1】　已知抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交的公共弦长为2,求抛物线的方程。 解　设所求抛物线的方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),抛物线与圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0),则|y1|+|y2|=2,即y1-y2=2。由对称性,知y2=-y1,代入上式,得y1=,把y1=代入x2+y2=4,得x1=±1,所以点(1,)在抛物线y2=2px上,点(-1,)在抛物线y2=-2px上,可得p=。于是所求抛物线的方程为y2=3x或y2=-3x。 　　求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置,不同的焦点设出不同的方程。 【变式训练】　边长为1的等边三角形AOB,O为坐标原点,AB⊥x轴,以O为顶点且过A,B的抛物线方程是 (C) A.y2=x B.y2=-x C.y2=±x D.y2=±x 解析　设抛物线方程为y2=ax(a≠0)。又A±,(取点A在x轴上方),则有=±a,解得a=±,所以抛物线方程为y2=±x。故选C。 类型二　抛物线的焦点弦问题 　　【例2】　已知抛物线方程为y2=2px(p>0),过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A,B两点,且|AB|=p,求AB所在的直线方程。 解　由题意知焦点F,0,设A(x1,y1),B(x2,y2)。若AB⊥x轴,则|AB|=2p<p,不满足题意。所以直线AB的斜率存在,设为k,则直线AB的方程为y=kx-,k≠0。由消去y,整理得k2x2-(k2p+2p)x+=0。由根与系数的关系得x1+x2=p+。所以|AB|=x1++x2+=x1+x2+p=2p+=p,解得k=±2。所以AB所在的直线方程为y=2x-或y=-2x-,即2x-y-p=0或2x+y-p=0。 　　(1)解决抛物线的焦点弦问题时,要注意抛物线定义在其中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题,从而可借助根与系数的关系进行求解。(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论。 【变式训练】　已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点。 (1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值; (2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离。 解　(1)因为直线l的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan 60°=。又F,0,所以直线l的方程为y=x-。联立消去y得x2-5x+=0。若设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=5,又|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p,所以|AB|=5+3=8。 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p=x1+x2+3=9,所以x1+x2=6,于是线段AB的中点M的横坐标是3,又准线方程是x=-,所以点M到准线的距离等于3+=。 类型三　抛物线性质的应用 　　【例3】　已知抛物线y2=2px(p>0)的准线l与x轴相交于点K,BK与抛物线的焦点弦AB垂直,AH垂直于x轴,求证:|AH|=|BH|。 证明　如图,记抛物线的焦点为F,过A,B作准线l的垂线,垂足分别为A1,B1。由抛物线的定义得|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|。连接AK,因为FK∥AA1∥BB1,所以=,所以=,所以Rt△AA1K∽Rt△BB1K,所以∠A1KA=∠B1KB,所以∠