第2章 2.1 双曲线及其标准方程-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

§2　双曲线 2.1　双曲线及其标准方程 情境导入 课程标准 　　做下面一个实验。(1)取一条拉链,拉开一部分。(2)在拉开的两边各选择一点,分别固定在点F1,F2上。 (3)把笔尖放在M处,随着拉链的拉开或闭拢,画出一条曲线。试观察这是一条什么样的曲线?点M在运动过程中满足什么几何条件? 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程。 2.通过双曲线方程的学习进一步体会数形结合的思想。 自主预习明新知 1.双曲线的定义 平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线。 这两个定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距。 2.双曲线的标准方程 焦点所在 的坐标轴 x轴 y轴 标准 方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0) 续表 焦点所在 的坐标轴 x轴 y轴 图形 焦点 坐标 F1(-c,0), F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) a,b,c的 关系式 c2=a2+b2 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　双曲线定义的应用 　　【例1】　已知F1,F2是双曲线-=1的两个焦点。 (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离; (2)若点P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积。 解　(1)设|MF1|=16,根据双曲线的定义知||MF2|-16|=6,即|MF2|-16=±6,解得|MF2|=10或|MF2|=22。 (2)由-=1,得a=3,b=4,c=5。由定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°,所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,所以|PF1|·|PF2|=64,所以=|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=×64×=16。 　　(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时,若已知该点的横、纵坐标,则根据两点间的距离公式可求结果;若已知该点到另一焦点的距离,则根据||PF1|-|PF2||=2a求解,注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去,且所求距离应该不小于c-a)。(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时,首先要注意定义中的条件||PF1|-|PF2||=2a的应用;其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算,在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用。 【变式训练】　(1)(多选)已知定点F1(-2,0),F2(2,0),在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是 (AB) A.|PF1|-|PF2|=±2 B.|PF1|-|PF2|=±3 C.|PF1|-|PF2|=±4 D.|PF1|2-|PF2|2=±4 解析　|F1F2|=4,根据双曲线的定义知选AB。 (2)已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C的右支上一点,且|PF2|=|F1F2|,则△PF1F2的面积等于48。 解析　在双曲线C:-=1中,a=3,b=4,c2=a2+b2=25,所以c=5,所以由条件知,|PF2|=|F1F2|=2c=10。又因为P为双曲线C的右支上一点,所以|PF1|-|PF2|=2a=6,所以|PF1|=16。如图,过F2作F2T⊥PF1于T,则T为PF1的中点,且|PT|=8,所以|F2T|=6,所以=×16×6=48。 类型二　求双曲线的标准方程 　　【例2】　根据下列条件,求双曲线的标准方程: (1)a=4,经过点A1,-; (2)与双曲线-=1有相同的焦点,且经过点(3,2); (3)过点P3,,Q-,5且焦点在坐标轴上。 解　(1)当焦点在x轴上时,设所求标准方程为-=1(b>0),把点A的坐标代入,得b2=-×<0,不符合题意;当焦点在y轴上时,设所求标准方程为-=1(b>0),把点A的坐标代入,得b2=9。故所求双曲线的标准方程为-=1。 (2)因为焦点相同,所以设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),所以c2=16+4=20,即a2+b2=20　①。因为双曲线经过点(3,2),所以-=1　②。由①②得a2=12,b2=8,故双曲线的标准方程为-=1。 (3)设双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB<0。因为点P,Q在双曲线上,所以解得故双曲线的标准方程为-=1。 　　双曲线标准方程的两种求法:(1)定义法:根据双曲线的定义得到相应的a,b,c,再写出双曲线的标准方程。(2)待定系数法:先设出双曲线的标准方程-=1或-=1(a,b均为正数),然后根据条件求出待定的系数代入方程即可。 提醒:若焦