第2章 1.2 椭圆的简单几何性质-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

1.2　椭圆的简单几何性质 情境导入 课程标准 　　很多天体或飞行器的运行轨道都是椭圆。如神舟九号飞船,于2012年6月16日搭载3名航天员发射升空,之后进入近地点高度200千米, 远地点高度329.8千米的椭圆形轨道,然后进行了5次变轨,两天后与天宫一号自动交会对接成功,这是中国首次实现载人空间交会对接任务。则神舟九号飞船的近地点高度200千米,远地点高度329.8千米是如何计算的? 1.掌握椭圆的几何性质,了解椭圆标准方程中a,b,c的几何意义。 2.会用椭圆的几何意义解决相关问题。 自主预习明新知 椭圆的几何性质 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图象 标准 方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 范围 -a≤x≤a,-b≤y≤b -a≤y≤a,-b≤x≤b 对称性 对称轴为x轴、y轴,对称中心为原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0) 续表 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 轴长 长轴长为2a,短轴长为2b 焦点 (±c,0) (0,±c) 焦距 2c(c2=a2-b2) 离心率 e=∈(0,1),其中c= 微思考 椭圆离心率对椭圆的“圆”与“扁”有什么影响? 提示:①e越接近1,c就越接近a,从而b就越小,椭圆就越扁。②e越接近0,c就越接近0,从而b就越接近a,椭圆就越圆。③特例:当且仅当a=b时,c=0,这时两个焦点重合,椭圆方程变为圆的方程。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　由椭圆标准方程研究几何性质 　　【例1】　求椭圆x2+9y2=81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标。 解　把已知方程化成标准方程为+=1,于是a=9,b=3,c==6,所以椭圆的长轴长2a=18,短轴长2b=6,离心率e==。两个焦点的坐标分别为F1(-6,0),F2(6,0),四个顶点的坐标分别为A1(-9,0),A2(9,0),B1(0,-3),B2(0,3)。 　　用标准方程研究几何性质的步骤:(1)将椭圆方程化为标准形式。(2)确定焦点位置。(3)求出a,b,c。(4)写出椭圆的几何性质。 提醒:长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是a,b,c的两倍。 【变式训练】　已知椭圆C1:+=1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上。 (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率; (2)写出椭圆C2的方程,并研究其性质。 解　(1)由椭圆C1:+=1可得其长半轴长为10,短半轴长为8,焦点坐标分别为(6,0),(-6,0),离心率e=。 (2)椭圆C2:+=1, 性质:①范围:-8≤x≤8,-10≤y≤10; ②对称性:关于x轴、y轴、原点对称; ③顶点:长轴端点(0,10),(0,-10),短轴端点(-8,0),(8,0); ④焦点:(0,6),(0,-6); ⑤离心率:e=。 类型二　由椭圆的几何性质求方程 　　【例2】　求适合下列条件的椭圆的标准方程。 (1)长轴长是10,离心率是; (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6。 解　(1)设椭圆的方程为+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0)。由已知得2a=10,a=5。又因为e==,所以c=4。所以b2=a2-c2=25-16=9。所以椭圆的标准方程为+=1或+=1。 (2)依题意可设椭圆方程为+=1(a>b>0)。如图所示,△A1FA2为等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且|OF|=c,|A1A2|=2b,则c=b=3,a2=b2+c2=18,故所求椭圆的标准方程为+=1。 　　利用椭圆的几何性质求标准方程的思路:利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时,通常采用待定系数法,其步骤是:(1)确定焦点位置。(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)。(3)根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数。列方程(组)时常用的关系式有b2=a2-c2,e=等。 【变式训练】　求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)长轴长与短轴长的和为18,焦距为6; (2)过点(3,0),离心率e=; (3)过点M(1,2),且与椭圆+=1有相同的离心率。 解　(1)设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,由题意可知解得a=5,b=4。因为不确定焦点在哪个坐标轴上,所以所求椭圆的标准方程为+=1或+=1。 (2)当椭圆的焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),由题意,得a=3,因为e=,所以c=,从而b2=a2-c2=3,所