2.1.2 椭圆的简单几何性质-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

1.2　椭圆的简单几何性质 　 第二章　§1　椭圆 知识层面 1．掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单的几何性质． 2．了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义． 3．会用椭圆的几何意义解决相关问题． 4．了解椭圆的简单应用. 素养层面 通过研究椭圆的几何性质及应用，提升逻辑推理、直观想象及数学运算素养. 课时测评 3 综合应用 1 内容索引 随堂演练 2 问题1　观察椭圆 ＝1(a＞b＞0)的形状，你能 从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆 上哪些点比较特殊？ 提示：范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点； 顶点：A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)． 问题导思 问题2　观察图形，我们发现，不同椭圆的扁的程度不同， 扁的程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻 画椭圆的扁的程度吗？这个定量对椭圆的形状有何影响？ 提示：利用离心率e＝ 来刻画椭圆的扁的程度．如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝ ，记e＝ ，则0＜e＜1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；e越小，∠BF2O越大，椭圆越接近于圆．当a＝b时，图形为圆． 椭圆的简单几何性质 新知构建 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＝1(a＞b＞0) ＝1(a＞b＞0) 对称性 对称轴：__________，对称中心：________ x轴和y轴 (0，0) 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 范围 ________________________ －b≤x≤b，且－a≤y≤a 顶点 ________________________________________________ ________________________________________________ 轴长 短轴长＝____，长轴长＝____ 焦点 ________________________ ________________________ 焦距 |F1F2|＝____ 离心率 e＝ (0＜e＜1) －a≤x≤a，且－b≤y≤b A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0， －b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)， B2(b，0) 2b 2a F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 2c (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.(4)P为短轴端点时，∠F1PF2最大．(5)通径长为 (通径是过焦点 垂直于长轴的弦)．(6)e＝ .(7)离心率的范围为(0， 1)，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆． 微提醒 角度1　椭圆的简单几何性质 (链教材P54例4)已知椭圆C1： ＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； 例1 解：由椭圆C1： ＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8， 焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e＝ . (2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质． ①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)；④焦点：(0，6)，(0，－6)，焦距为12；⑤离心率：e＝ . 规律方法 用标准方程研究几何性质的步骤 第一步：将椭圆方程化为标准形式； 第二步：确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论)； 第三步：求出a，b，c； 第四步：写出椭圆的几何性质． 对点练1．设椭圆方程为mx2＋4y2＝4m(m＞0)，离心率为 ，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标． 角度2　由椭圆的简单性质求方程 (链教材P55例5)求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，a＝2，离心率e＝ ； 例2 所以b2＝a2－c2＝4－1＝3. (2)一焦点坐标为(－3，0)，一顶点坐标为(0，5)； 解：由椭圆的一个焦点坐标为(－3，0)，可知椭圆的焦点在x轴上，且c＝3.又由一顶点坐标为(0，5)，可得b＝5， (3)过点(3，0)，离心率e＝ . 规律方法 已知椭圆的简单性质求标准方程的步骤 第一步：先看题目的条件能否确定焦点所在的坐标轴，当不能确定焦点所在的坐标轴时，需分焦点在x轴上或在y轴上进行讨论． 第二步：然后依据关系式e＝ ，b2＝a2－c2确定a，b的值，从而求出椭圆的标准方程． 对点练2．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦距为8，离心率为0.8； 所以a＝5，b＝3. (2)长轴是短轴的3倍，且经过点(3，0)． 因为椭圆过点(3，0)，所以a＝3， 又2a＝3×2b，所以b＝1. 因为椭圆过点(3，0)，所以b＝3. 又2a＝3×2b，所以a＝9. 返回 综合应用 返回 应用一　求椭圆的离心率 设椭圆C： ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率． 例3 解：在△PF1F2中，因为∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，所以∠F1PF2＝60°，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，m＋n＝2a， 变式探究 (变条件)若将本例中“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围． 解：由题意，若∠F1PF2为钝角，则c＞b，所以c2＞b2.又b2＝a2－c2，所以c2＞a2－c2，即2c2＞a2.所以e2＝ ，所以e＞ ，又0＜e＜1， 所以C的离心率的取值范围为 . 规律方法 求椭圆离心率及取值范围的两种方法 1．直接法：若已知a，c可直接利用e＝ 求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝ 求解． 2．解方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围． 对点练3．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦MN的长为 ，若△MF2N的周长为20，则椭圆的离心率为 √ 应用二　代入法求轨迹方程 已知在平面直角坐标系中，动点M到定点(－ ，0)的距离与它到定直线l：x＝－ 的距离之比为常数 . (1)求动点M的轨迹Q的方程； 例4 解：设动点M(x，y)， (2)设点A ，若P是(1)中轨迹Q上的动点，求线段PA的中点B的轨迹方程． 解：设B(x，y)，P(x0，y0)， 规律方法 1．直接法求轨迹方程 求轨迹方程时，没有坐标系时要先建立坐标系，设轨迹上任一点的坐标为(x，y)，轨迹方程就是x，y之间的等式，关键是找到等量关系，然后用x，y表示． 2．代入法求轨迹方程 求轨迹方程时，关键是要找到所求动点与相关动点之间的等量关系． 3．定义法求轨迹方程 观察图形，根据几何图形的直观性质得到动点轨迹的几何属性，由曲线的定义直接得到动点轨迹的方程．注意要检验是否有要删除的点． 对点练4．已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为(－4，0)，(4，0)，C为动点，且满足sin B＋sin A＝ sin C，求点C的轨迹． 解：由sin B＋sin A＝ sin C， 可知b＋a＝ c＝10(a，b，c分别为角A，B，C的对边)， 即|AC|＋|BC|＝10＞|AB|＝8，满足椭圆的定义． 令椭圆方程为 ＝1(a′＞b′＞0)， 则a′＝5，c′＝4⇒b′＝3， 则轨迹方程为 ＝1(x≠±5)，图形为椭圆(不含左、右顶点)． 返回 课堂小结 知识 1．椭圆的简单几何性质. 2．由椭圆的几何性质求标准方程. 3．求椭圆的离心率. 4．求轨迹方程 方法 分类讨论、方程法(不等式法)、待定系数法、代入法 易错 误区 忽略椭圆离心率的范围0＜e＜1及长轴长与a的关系 随堂演练 返回 1．(多选题)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是 √ √ 2．已知椭圆的离心率为 ，焦点是(－3，0)和(3，0)，则该椭圆的方程为 √ 3．(2024·河南洛阳高二期中)若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为 √ 不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上 顶点．依题意可知，△BF1F2是正三角形．因为在Rt △OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°， 所以cos 60°＝ ，即椭圆的离心率e＝ .故选A. 4．在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足， .当点P在圆上运动时，点M的轨迹方程是 ． 返回 课时测评 返回 1．焦点在x轴上，长半轴长与短半轴长之和为10，焦距为4 ，则椭圆的方程为 √ 由题意得c＝2 ，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，解得a＝6，b＝4.所以椭圆 的方程为 ＝1. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为 A． B．2 C． D．4 √ 椭圆x2＋my2＝1的标准形式为x2＋ ＝1.因为焦点在y轴上，且长轴长是 短轴长的2倍，所以 ＝2，所以m＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有相等的焦距，不同的焦点 C．有不等的焦距，不同的焦点 D．以上都不对 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．(2024·安徽芜湖高二质量监控)已知椭圆C： ＝1(a＞b＞0)的左顶点和右焦点分别为A，F，点P为椭圆外一点，线段PA，PF恰好均被椭圆平分，且与椭圆分别交于M，N两点，当|MA|＝|MF|时，椭圆的离心率为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆．现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃厚度忽略不计)，在玻璃杯倾斜的过程中(杯中的水不能溢出)，杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 ，且过P(－5， 4)，则椭圆的方程为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．在平面直角坐标系中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为 .过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆 C的方程为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．椭圆 ＝1(a＞b＞0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1| ＝5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(12分)已知中心在坐标原点的椭圆，经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点． (1)求椭圆的标准方程； 若点F(2，0)为其右焦点， 则其左焦点为F′(－2，0)， 又a2＝b2＋c2，所以b2＝12， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若P是(1)中所求椭圆上的动点，求PF的中点Q的轨迹方程． 解：设P(x0，y0)，Q(x，y)， 因为Q为PF的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(新角度)(多选题)阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为6 π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(13分)设F1，F2分别是椭圆E： ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|. (1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|； 解：由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4， 得|AF1|＝3，|F1B|＝1. 因为△ABF2的周长为16， 所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8. 故|AF2|＝8－3＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若cos ∠AF2B＝ ，求椭圆E的离心率． 解：设|F1B|＝k，则k＞0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k. 由椭圆定义可得，|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k. 在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝ －2|AF2|·|BF2|·cos ∠AF2B， 即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－ (2a－3k)·(2a－k)， 化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k＞0，故a＝3k. 于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k. 因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A， 故△AF1F2为等腰直角三角形． 从而c＝ a， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)如图所示，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长 为 ，短轴长为 ，离心率为 ． 12 cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)如图所示，某区新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆 ＝1(x≤0)和 ＝1(x≥0)组成，其中a＞b＞9，“挞圆”内切于矩形(即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点)． (1)求“挞圆”的方程； 解：由题意知b＝15，a＋9＝34， 解得a＝25，b＝15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t(t∈(0，15))，求该网箱所占水面面积的最大值． 解：设P(x0，t)为矩形在第一象限内的顶点，Q(x1，t)为矩形在第二象限内的顶点， 所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 圆 锥 曲 线 返回 ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ 解：椭圆C2：＋＝1.几何性质如下： 所以m＝3，所以b＝，c＝1， 所以椭圆的长轴长和短轴长分别是4，2，焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，顶点坐标为A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－)，B2(0，)． 解：椭圆方程可化为＋＝1. ①当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝， 所以e＝＝＝， 所以椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2，0)，B2(2，0)． ②当m＞4时，a＝，b＝2， 所以c＝， 所以e＝＝＝，解得m＝， 所以a＝，c＝， 解：由a＝2，e＝，可得a2＝4，且＝，即c＝1， 已知椭圆的焦点在y轴上，所以所求的标准方程为＋＝1. 解：当椭圆的焦点在x轴上时，因为a＝3，e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1； 当椭圆的焦点在y轴上时，因为b＝3，e＝，所以＝，所以a2＝27，所以椭圆的标准方程为＋＝1. 综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1，或＋＝1. 所以椭圆的标准方程为＋＝1，或＋＝1. 解：当焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a＞b＞0)． 由题意得c＝4，e＝， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 当焦点在y轴上，同理可求得方程为＋＝1. 所以所求的椭圆的标准方程为＋y2＝1，或＋＝1. 解：当焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a＞b＞0)． 所以椭圆的标准方程为＋y2＝1. 当焦点在y轴上，设方程为＋＝1(a＞b＞0)． 所以椭圆的标准方程为＋＝1. ＋ 则在△PF1F2中，有＝＝， 所以＝，所以e＝＝＝＝. ＞ A． B． C． D． 设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则由椭圆的定义，可得|MF1|＋|MF2|＝|NF1|＋|NF2|＝2a.由△MF2N的周长为20，可得4a＝20，即a＝5.令x＝－c，代入椭圆的方程，可得y＝±，即＝，解得b2＝9，所以c＝＝4，所以椭圆的离心率为e＝＝.故选C. 平方、整理，得＋y2＝1， 即所求动点M的轨迹Q的方程为＋y2＝1. 由已知可得 ＝， 所以线段PA的中点B的轨迹方程是＋42＝1. 由得 由点P在轨迹Q上，得＋＝1， 整理得＋4＝1， ＋ ＋ A．长轴长为 B．焦距为 C．焦点坐标为 D．离心率为 由椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝，所以长轴长为2a＝1，焦距为2c＝，焦点坐标为，离心率为e＝＝.故选CD. A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 由题意知c＝3，＝，则a＝6，所以b2＝a2－c2＝27，所以椭圆的方程为＋＝1.故选A. A． B． C． D． ＝ ＝ ＋＝1 设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则点D的坐标为(x0，0)，因为＝，即(x－x0，y)＝(0，y0)，所以所以因为点P在x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，所以x2＋＝4，所以点M的轨迹方程是＋＝1. A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 ＋ 3．曲线＋＝1与＋＝1(0＜k＜9)的关系是 曲线＋＝1的焦距为2c＝8，而曲线＋＝1(0＜k＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但焦点所在的坐标轴不同．故选B. ＋ A． B． C． D． 如图所示，设P(x0，y0)，A(－a，0)，F(c，0)，因为 |MA|＝|MF|，所以xM＝，又因为M为PA的中点， 所以xM＝，则x0＝c，所以M，N， 因为点M在椭圆上，代入椭圆方程得y＝b2，因为MN∥x轴，所以b2＝2，整理得3c2＋2ac－a2＝0，即3e2＋2e－1＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．故选A. 5．(多选题)为使椭圆＋＝1的离心率为，正数m的值可以是 A．1 B． C． D． 当0＜m＜2时，焦点在x轴上，此时a2＝2，b2＝m，所以c2＝a2－b2＝2－m，所以e2＝＝＝，解得m＝，符合题意；当m＞2时，焦点在y轴上，此时a2＝m，b2＝2，所以c2＝a2－b2＝m－2，所以e2＝＝＝，解得m＝，符合题意．故正数m的值可以是或.故选CD. A． B． C． D． 当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，此时椭圆长轴长为＝6(厘米)，短轴长为6厘米，所以椭圆离心率e＝＝，所以e∈.故选C. ＋＝1 因为e＝＝，所以＝＝，所以5a2－5b2＝a2，即4a2＝5b2.设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞0)，因为椭圆过点P(－5，4)，所以＋＝1，解得a2＝45.所以椭圆方程为＋＝1. ＋＝1 设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由e＝，知＝，故＝.因为△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，所以a＝4，所以b2＝8，所以椭圆C的方程为＋＝1. ＋ 由题意可知|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|＝5|PF2|，则|PF1|＝，|PF2|＝，因为|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，所以≤2c，e≥.又e＜1，所以椭圆离心率的取值范围是. 解：由题意，可设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)， 从而有 解得 故椭圆的标准方程为＋＝1. 所以所以 又P是＋＝1上的动点， 所以＋＝1， 即Q点的轨迹方程是＋＝1. A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 由题意可知，又a2＝b2＋c2，解得a＝3，b＝2，c＝1，所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.故选AD. 12．P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足＝＋，则动点Q的轨迹方程 是 ． ＋＝1 设Q(x，y)，因为＝＋，所以＝－＝，因为P是椭圆＋＝1上的任意一点，所以＋＝1，所以＋＝1. ＋ 所以椭圆E的离心率e＝＝. ＋ 8 cm 由题图知短轴长为底面直径12 cm，长轴长为＝8(cm)，则c2＝(4)2－62＝12，所以c＝2，所以离心率e＝＝. ＋ ＋ 所以“挞圆”方程为＋＝1(x≤0)和＋＝1(x≥0)． 则＋＝1，＋＝1，可得x1＝－x0. 所以内接矩形的面积S＝2t(x0－x1)＝2t×x0＝15×34×2··≤15×34＝510， 当且仅当＝时，S取最大值510. $$