课时达标检测(13) 椭圆的简单几何性质-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

课时达标检测(十三)　椭圆的简单几何性质 基础达标 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.若椭圆+=1(a>)的长轴长为6,则它的焦距为 (A) A.4 B.3 C.2 D.1 解析　椭圆+=1(a>)的长轴长为6,则2a=6,即a=3,由于b2=5,则c2=a2-b2=4,即c=2,则它的焦距为2c=4。故选A。 2.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则椭圆的离心率为 (B) A. B. C. D. 解析　因为2x2+3y2=m(m>0),所以+=1。所以c2=-=,故e2=,解得e=。故选B。 3.焦点在x轴上,长、短半轴之和为10,焦距为4,则椭圆的标准方程为 (A) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析　由题意得c=2,a+b=10,所以b2=(10-a)2=a2-c2=a2-20,解得a2=36,b2=16,故椭圆的标准方程为+=1。 4.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积。若椭圆C的焦点在x轴上,且椭圆C的离心率为,面积为12π,则椭圆C的方程为 (D) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析　由题意可得解得a=4,b=3,因为椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆方程为+=1。故选D。 5.已知椭圆+x2=1(a>1)的离心率e=,P为椭圆上的一个动点,若定点B(-1,0),则|PB|的最大值为 (C) A. B.2 C. D.3 解析　由题意可得,e2==2,据此可得a2=5,椭圆方程为+x2=1,设椭圆上点的坐标为P(x0,y0),则=5(1-),故|PB|===,当x0=时,|PB|取得最大值。故选C。 6.已知点P(2,1)在椭圆+=1(a>b>0)上,点M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点,则当|OM|取最小值时,椭圆的离心率为 (C) A. B. C. D. 解析　点P(2,1)在椭圆+=1(a>b>0)上,可得+=1,M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点,则|OM|==≥=3,当且仅当a2=2b2时,等号成立,此时由解得a2=6,b2=3。所以e===。故选C。 二、多项选择题 7.已知椭圆+=1的离心率e=,则k的值可能是 (BC) A.-4 B.4 C.- D. 解析　①当焦点在x轴上,即当k+8>9,即k>1时,由椭圆的标准方程得a=,b=3,则c==,所以椭圆的离心率e===,解得k=4。②当焦点在y轴上,即当0<k+8<9,即-8<k<1时,由椭圆的标准方程得b=,a=3,则c==,所以椭圆的离心率e===,解得k=-。故选BC。 8.某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆,如图所示,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米,远地点B(离地面最远的点)距地面n千米,并且F,A,B三点在同一直线上,地球半径约为R千米,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则 (ABD) A.a-c=m+R B.a+c=n+R C.2a=m+n D.b= 解析　因为地球的中心是椭圆的一个焦点,并且根据图形可得(*)所以a-c=m+R,故A正确;所以a+c=n+R,故B正确;(*)两式相加得m+n=2a-2R,可得2a=m+n+2R,故C不正确;由(*)可得两式相乘可得(m+R)(n+R)=a2-c2,因为a2-c2=b2,所以b2=(m+R)(n+R)⇒b=,故D正确。故选ABD。 三、填空题 9.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为。过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么椭圆C的方程为 +=1 。  解析　设椭圆方程为+=1(a>b>0),由e=,知=,故=。由于△ABF2的周长为|AB|+|BF2|+|AF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=16,故a=4,所以b2=8,所以椭圆C的方程为+=1。 10.已知椭圆的短半轴长为1,离心率0<e≤,则长轴长的取值范围为 (2,4] 。  解析　因为b=1,所以c2=a2-1。又==1-≤。所以≥,即a2≤4。又a2-1>0,所以a2>1,故1<a≤2,2<2a≤4。 11.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个顶点恰组成一个正三角形的三顶点,且椭圆C上的点到椭圆的焦点的最短距离为,则椭圆C的方程为 +=1 。  解析　因为椭圆的两焦点与短轴的一个顶点恰组成一个正三角形的三顶点,所以有tan 60°=⇒b=c。又因为椭圆C上的点到椭圆的焦点的最短距离为,所以有a-c=,而a2=b2+c2,三个等式联立得⇒所以椭圆的标准方程为+=1。 四、解答