第2章 1.1 椭圆及其标准方程-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

第二章　圆锥曲线 §1　椭圆 1.1　椭圆及其标准方程 情境导入 课程标准 　　 取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一点,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点F1,F2(如图),套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出一个图形。画出的图形是什么? 1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握椭圆的定义、标准方程。 自主预习明新知 1.椭圆的定义 平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆。 这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点间的距离|F1F2|叫作椭圆的焦距。 2.椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 图象 焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) a,b,c 的关系 b2=a2-c2 微提醒 1.(1)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数>|F1F2|时,动点M的轨迹为椭圆。 (2)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数=|F1F2|时,动点M的轨迹为以F1,F2为两端点的线段。 (3)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数<|F1F2|时,动点M的轨迹不存在。 2.椭圆的标准方程的特征 (1)几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴或y轴上。 (2)代数特征:方程右边为1,左边是关于与的平方和或关于与的平方和,并且分母为不相等的正值。 微思考 1.如何根据椭圆的标准方程判断椭圆焦点的位置? 提示:判断椭圆焦点在哪个坐标轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些,即“谁大在谁上”。 2.在椭圆的标准方程中,a>b>c一定成立吗? 提示:不一定,只需a>b,a>c即可,b,c的大小关系不确定。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　椭圆的定义及应用 　　命题方向1:定义的直接应用 　　【例1】　(1)下列说法正确的是 (C) A.已知F1(-4,0),F2(4,0),到两点F1,F2的距离之和大于8的点的轨迹是椭圆 B.已知F1(-4,0),F2(4,0),到两点F1,F2的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C.到点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和等于从点(5,3)到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D.到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆 解析　选项A中虽满足到两定点的距离之和大于8,但未指明到两定点距离之和是常数,故轨迹不是椭圆;选项B中这样的点的轨迹不存在;选项C中,点(5,3)到F1,F2的距离之和为4>|F1F2|,适合该条件的点的轨迹是椭圆;选项D中,点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线。 (2)椭圆+=1上一点P到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离为 5 。  解析　由椭圆方程+=1知a=5,设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,令|PF1|=5,由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=10,所以|PF2|=5。 　　椭圆定义的双向运用 判断 符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆 求值 椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a 【变式训练】　(1)椭圆+=1上的一点M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于 3 。  解析　设椭圆的右焦点为F2,则由|MF1|+|MF2|=8,知|MF2|=8-2=6。又因为点O为F1F2的中点,点N为MF1的中点,所以|ON|=|MF2|=3。 (2)已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2是它的焦点。过F1的直线AB与椭圆交于A,B两点,求△ABF2的周长。 解　 如图,因为|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,所以△ABF2的周长=|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a。 　　命题方向2:焦点三角形 　　【例2】　已知点P是椭圆+=1上的一点,F1,F2分别是椭圆的两个焦点,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积。 解　由椭圆方程+=1,可得a=,b=2,c==1。在△F1PF2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|·cos 30°,所以4=(2)2-(2+)|PF1|·|PF2|,所以|PF1|·|PF2|=16(2-)