第1章 2.4 圆与圆的位置关系-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

2.4　圆与圆的位置关系 情境导入 课程标准 　　圆与圆之间的关系是日常生活中经常见到的现象,如奥运五环、自行车轮、咬合的齿轮、望远镜等: ①　②　③ 上图中圆与圆的位置关系是什么? 1.理解圆与圆的位置关系的种类。 2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法,能够利用上述方法判断两圆的位置关系。 3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性。 自主预习明新知 圆与圆的位置关系及判断 位置 关系 外离 相交 相切 内含 外切 内切 图示 交点 个数 0 2 1 1 0 判定方法 几何法 d>r1 +r2 |r1-r2|< d<r1+r2 d=r1+r2 d=|r1 -r2| d<|r1 -r2| 代数法 Δ<0 Δ>0 Δ=0 Δ=0 Δ<0 说明:d为两圆的圆心距,r1,r2分别为两圆半径,Δ为联立两圆方程消去一个未知数后的一元二次方程的根的判别式。 微思考 在外离、外切、相交、内切和内含的位置关系下,两圆的公切线条数分别为多少? 提示:当两圆外离时有四条公切线,当两圆外切时有三条公切线,当两圆相交时有两条公切线,当两圆内切时只有一条公切线,当两圆内含时无公切线。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　两圆位置关系的判定 　　【例1】　已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0,圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0)。试求a为何值时,两圆C1,C2的位置关系为: (1)相切;(2)相交;(3)外离;(4)内含。 解　圆C1,C2的方程,经配方后可得C1:(x-a)2+(y-1)2=16,C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,所以圆心C1(a,1),C2(2a,1),半径r1=4,r2=1。所以|C1C2|==a。 (1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切;当|C1C2|=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切。 (2)当3<|C1C2|<5,即3<a<5时,两圆相交。 (3)当|C1C2|>5,即a>5时,两圆外离。 (4)当|C1C2|<3,即0<a<3时,两圆内含。 　　(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤:①化成圆的标准方程,写出圆心和半径;②计算两圆圆心的距离d;③通过d,r1+r2,|r1-r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的取值范围,必要时可借助于图形,数形结合。(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求待定参数的取值范围是非常简单清晰的,注意理清圆心距与两圆半径的关系。 【变式训练】　(1)设圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-2)2+(y+2)2=1,则圆C1与C2的位置关系是 (B) A.相交 B.外离 C.外切 D.内含 解析　解法一:画出两圆,如图所示,由图可直观得出两圆外离。 解法二:根据题意,可知圆C1的半径r1=1,圆C2的半径r2=1,且圆C1与圆C2的圆心距d==2>1+1,即d>r1+r2,故两圆外离。 (2)两圆(x-2)2+(y-1)2=4与(x+1)2+(y-2)2=9的公切线有 (B) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析　两圆的圆心距为=。两个圆的半径之和为5,半径之差为1。因为1<<5,所以两个圆相交,公切线有2条。 类型二　两圆相切问题 　　【例2】　(1)已知以C(3,4)为圆心的圆与圆x2+y2=1外切,则圆C的方程为 (x-3)2+(y-4)2=16 。  解析　设圆C的半径为r,则圆C的方程为(x-3)2+(y-4)2=r2。由题意得两圆圆心距d==5,因为两圆外切,所以圆心距为两圆半径之和,即5=r+1,解得r=4。故圆C的方程为(x-3)2+(y-4)2=16。 (2)已知圆O1:x2+y2-8x-8y+48=0,圆O2过点A(0,-4),若圆O2与圆O1相切于点B(2,2),求圆O2的方程。 解　将圆O1的方程化为标准方程为(x-4)2+(y-4)2=16,所以圆心O1(4,4),因为圆O2与圆O1相切于点B(2,2),所以圆O2的圆心在直线y=x上,不妨设为(a,a),因为圆O2过点A(0,-4),所以圆O2与圆O1外切,因为圆O2过B(2,2),所以a2+(a+4)2=2(a-2)2,所以a=0,所以圆O2的方程为x2+y2=16。 　　解决两圆相切问题的两个步骤:(1)定性,即必须准确把握是内切还是外切,若只是告诉相切,则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论。(2)转化思想,即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)。 【变式训练】　两圆x2+y2=4和(x+2)2+(y-a)2