第34讲 平面向量的概念与线性运算-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第34讲 平面向量的概念与线性运算 1、 向量的有关概念 (1)零向量：长度为0的向量叫 ，其方向是不确定的． (2)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做 ．我们规定零向量与任一向量 ． (3)单位向量：长度等于 个单位长度的向量． (4)相等向量：长度相等且方向 的向量． (5)相反向量：与向量a长度相等，方向 的向量叫做a的相反向量． 2、向量的线性运算 (1)向量加法满足交换律a＋b＝ ，结合律(a＋b)＋c＝ ． 向量加法可以使用三角形法则，平行四边形法则． (2)向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ>0时，λa与a方向 ； 当λ<0时，λa与a方向 ； 当a＝0时，λa＝ ； 当λ＝0时，λa＝ ． (3)实数与向量的运算律：设λ，μ∈R，a，b是向量，则有： ①λ(μa)＝ ； ②(λ＋μ)a＝ ； ③λ(a＋b)＝ ． 3、 向量共线定理： 如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是 ；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝ ． 1、【2022年新高考1卷】在中，点D在边AB上，．记，则（       ） A． B． C． D． 2、【2020年新高考2卷（海南卷）】在中，D是AB边上的中点，则=（       ） A． B． C． D． 1、在下列命题中，真命题的是　　　　．（填序号） ①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③单位向量的长度都相等； ④单位向量都是同方向； ⑤任意向量与零向量都共线． 2、 如图，已知＝a，＝b，＝3，＝2，则等于(　　) A. b－a B. a－b C. a－b D. b－a 3、已知＝4e1＋2e2，＝2e1＋te2，若M、P、Q三点共线，则t＝( ) A. 1　 B. 2　 C. 4　 D. －1 4、已知＝a＋5b，＝－3a＋6b，＝4a－b，则(　　) A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线 C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线 考向一　平面向量的有关概念 例1、给出下列命题，正确的有(　　) A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD为平行四边形 C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线 变式1、给出下列命题： ①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a|＝|b|，则a＝b； ③若＝，则A，B，C，D四点构成平行四边形； ④在平行四边形ABCD中，一定有＝； ⑤若m＝n，n＝p，则m＝p； ⑥若a∥b，b∥c，则a∥c. 其中错误的命题是　　　　．（填序号） 变式2、如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心． （1）与相等的向量有 ； （2）与相等的向量有 ； （3）与共线的向量有 ． 方法总结：向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度． (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度． (5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线． 考向二 向量的线性运算 例2、如图，在△ABC中，＝＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝　　　　. 变式1、（1）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于(　　) A.－ B.－ C.＋ D.＋ （2）如图，在等腰梯形ABCD中，DC＝AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于点E，则等于(　　) A.－ B.＋ C.－ D.＋ 变式2、设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则＋＋＋＝　　　　．（用表示） 方法总结：向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则． 考向三 共线定理的应用 例3、设两个非零向量a与b不共线． (1) 若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线； (2) 试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向． 变式1、如图，在△ABC中，D是BC上靠近点B