课时达标检测18 点到直线的距离-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教B版2019）

课时达标检测(十八)　点到直线的距离 基础达标 　 一、单项选择题 1.已知点A(3,2)和点B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则m等于 (B) A.0或- B.或-6 C.-或 D.0或 解析　由题知直线mx+y+3=0与AB平行或过AB的中点,所以-m=或m×++3=0,解得m=或m=-6。 2.已知两直线3x+2y-3=0与6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离等于 (D) A.4 B. C. D. 解析　因为3x+2y-3=0与6x+my+1=0互相平行,所以-=-,所以m=4。所以6x+my+1=0为6x+4y+1=0,即3x+2y+=0。所以两平行线之间的距离为d===。 3.直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是 (D) A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C.3x-2y-12=0 D.2x+3y+8=0 解析　解法一:设所求直线的方程为2x+3y+C=0,由题意可知=。所以C=-6(舍)或C=8。故所求直线的方程为2x+3y+8=0。 解法二:令(x0,y0)为所求直线上任意一点,则点(x0,y0)关于(1,-1)的对称点为(2-x0,-2-y0),此点在直线2x+3y-6=0上,代入可得所求直线的方程为2x+3y+8=0。 4.直线l过点A(3,4)且与点B(-3,2)的距离最远,那么l的方程为 (C) A.3x-y-13=0 B.3x-y+13=0 C.3x+y-13=0 D.3x+y+13=0 解析　由已知可知,l是过A且与AB垂直的直线,因为kAB==,所以kl=-3,由点斜式得y-4=-3(x-3),即3x+y-13=0。 5.已知点A(0,2),B(2,0),若点C在函数y=x2的图像上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为 (A) A.4　　　B.3　　　C.2　　　D.1 解析　设点C(t,t2),直线AB的方程是x+y-2=0,|AB|=2。由于△ABC的面积为2,则这个三角形中AB边上的高h满足方程×2h=2,即h=。由点到直线的距离公式,得=,即|t2+t-2|=2,即t2+t-2=2或t2+t-2=-2,这两个方程各自有两个不相等的实数根,故这样的点C有4个。 6.点P(x,y)在直线4x+3y=0上,且x,y满足-14≤x-y≤7,则点P到坐标原点距离的取值范围是 (B) A.[0,5] B.[0,10] C.[5,10] D.[5,15] 解析　因为点P(x,y)在直线4x+3y=0上,且x,y满足-14≤x-y≤7,所以-6≤x≤3。因为线段4x+3y=0(-6≤x≤3)过原点,所以点P到坐标原点的最近距离为0。结合图形知线段4x+3y=0(-6≤x≤3)上点(-6,8)到坐标原点的距离最远为10,所以点P到坐标原点距离的取值范围是[0,10]。故选B。 二、多项选择题 7.过点P(1,2)作直线,使点A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等,则这条直线的方程是 (AD) A.4x+y-6=0 B.x+4y-6=0 C.2x+3y-7=0 D.3x+2y-7=0 解析　因为kAB=-4,所以过点P(1,2)与AB平行的直线方程为y-2=-4(x-1),即4x+y-6=0,此直线符合题意。过P(1,2)与线段AB的中点C(3,-1)的直线方程为y-2=-(x-1),即3x+2y-7=0,此直线符合题意。故所求直线的方程为4x+y-6=0或3x+2y-7=0。故选AD。 8.已知平面上有一点M(5,0),若直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”,下列直线中是“切割型直线”的是 (BC) A.y=x+1 B.y=2 C.y=x D.y=2x+1 解析　根据题意,看所给直线上的点到定点M的距离能否取4。可通过求各直线上的点到点M的最小距离,即点M到直线的距离来分析。A中d==3>4,故直线上不存在一点到M的距离等于4,不是“切割型直线”;B中d=2<4,所以在直线上可以找到两个不同的点,使之到点M的距离等于4,是“切割型直线”;C中d==4,直线上存在一点,使之到点M的距离等于4;D中d==>4,故直线上不存在到M的距离等于4的点。故选BC。 三、填空题 9.若点A(4,a)到直线4x-3y=1的距离不大于3,则a的取值范围是 [0,10] 。  解析　由题意知d==≤3,即|3a-15|≤15,所以-15≤3a-15≤15,即0≤3a≤30,所以0≤a≤10。 10.若点P在直线x+y-4=0上,O为原点,则|OP|的最小值是 2 ,此时直线OP的方程为 x-y=0 。  解析　|OP|的最小值,即点O到直线x+y-4=0的距离d==2。因为kOP×(-1)=-1,所以kOP=1,即直线OP的方程为x-y=0。