第1章 空间向量与立体几何 测评卷-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教B版2019）

第一章测评卷 (时间:120分钟　满分:150分) 　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,点F是侧面CC1D1D的中心,且=+m-n,则m,n的值分别为 (A) A.,- B.-,- C.-, D., 解析　由题意知,=+=+(+)=++,所以m=,n=-。 2.已知向量a,b是平面α内两个不相等的非零向量,非零向量c在直线l上,则“c·a=0,且c·b=0”是“l⊥α”的 (B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　若l⊥α,则c⊥a,c·a=0,c⊥b,c·b=0;反之,若a∥b,c·a=0,且c·b=0,并不能保证l⊥α。 3.下列命题中,不正确的命题为 (A) A.若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则n1∥n2⇔α∥β B.若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α⊥β⇔n1·n2=0 C.若n是平面α的法向量且a与α共面,则n·a=0 D.若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直 解析　A中,由α∥β可得n1∥n2,由n1∥n2可得,平面α与β可能平行,也可能重合,所以A不正确;B中α⊥β,则二面角的平面角为90°,由圆的内接四边形对角互补知法向量垂直,反之当法向量垂直,则二面角为90°,由圆内接四边形对角互补,知两平面垂直,故B正确;C中a与α共面,则a在平面α内或与平面α平行,所以平面的法向量与a垂直,C正确;D中若两个平面的法向量不垂直,则两法向量所成角不是90°,由圆的内接四边形对角互补知两平面所成的角不是90°,D正确。故选A。 4.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,二面角A⁃BD1⁃B1的大小为 (C) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析　以C为原点,分别以CB,CD,CC1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,设正方体的棱长为a,则A(a,a,0),B(a,0,0),D1(0,a,a),B1(a,0,a),所以=(0,a,0),=(-a,a,a),=(0,0,a)。设平面ABD1的法向量为n=(x,y,z),则n·=(x,y,z)·(0,a,0)=ay=0,n·=(x,y,z)·(-a,a,a)=-ax+ay+az=0,因为a≠0,所以y=0,x=z,令z=1,则n=(1,0,1)是平面ABD1的一个法向量,同理可得平面B1BD1的一个法向量为m=(-1,-1,0)。cos<n,m>==-,而二面角A⁃BD1⁃B1为钝角,故为120°。 5.如图,在棱长为3的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,M,N分别是棱A1B1,A1D1的中点,则点B到平面AMN的距离是 (D) A. B. C. D.2 解析　以,,为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则M,0,3,N,A(0,0,0),B(3,0,0),所以=,0,3,=0,,3。设平面AMN的一个法向量为n=(x,y,z),则令z=-1,得n=(2,2,-1)是平面AMN的一个法向量。因为=(3,0,0),所以点B到平面AMN的距离是d==2,故选D。 6.如图所示,在三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是 (B) A.45° B.60° C.90° D.120° 解析　令=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|。因为=b+c,=(c-a),所以若令|a|=2,则||=2,||=。又·=(b+c)·(c-a)=(b·c-b·a+|c|2-c·a)=(0-0+4-0)=2,所以cos<,>==,所以EF与BC1所成的角为60°。 7.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为 (C) A. B. C. D. 解析　以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),所以=(-1,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,-1,0)。设n=(x,y,z)是平面A1BD的一个法向量,则即取x=1,得y=z=-1,所以n=(1,-1,-1)是平面A1BD的一个法向量。设直线BC1与平面A1BD所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|===,所以cos θ==,即直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是。故选C。 8.如图,在棱长为4的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,点E,F分别在棱AA1和AB上,且C1E⊥EF,则|A