2.2.4 点到直线的距离 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教B版2019）

2.2.4　点到直线的距离 情境导入 课程标准 　　 如图所示,渔民们要将船推到海里,请同学们帮助设计一下:在理论上,怎样设计能使这条路最短? 1.了解点到直线的距离公式的推导。 2.掌握点到直线的距离公式及其应用。 3.会求两条平行直线之间的距离,体会距离公式与勾股定理之间的内在联系。 自主预习明新知 　 知识点一、点到直线的距离 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为d。 公式:d=。 计算步骤。 (1)给点P的坐标赋值:x0=?,y0=?; (2)给A,B,C赋值:A=?,B=?,C=?; (3)计算:; (4)给出d的值。 知识点二、两条平行直线之间的距离 两条平行直线l1:Ax+By+C1=0和l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2)之间的距离为d。 公式:d=。 计算步骤。 方法1:在一条直线上任取一点,利用点到直线的距离公式,求得d的值。 方法2:(1)给A,B,C1,C2赋值:A=?,B=?,C1=?,C2=?; (2)计算:; (3)给出d的值。 微提醒 两种特殊情况的点到直线的距离 (1)点P(x0,y0)到直线y=a的距离d=|y0-a|; (2)点P(x0,y0)到直线x=b的距离d=|x0-b|。 微思考 运用距离公式应注意什么? 提示:直线方程必须为一般式。 ①运用点到直线的距离公式时,直线方程必须化为一般式;②运用两条平行直线之间的距离公式时,在两条直线化为一般式的基础上还须x,y的系数对应相等。 合作探究攻重难 　 类型一　点到直线的距离 　　【例1】　(1)求点P(3,-2)到下列直线的距离d: ①y=x+; ②y=6; ③x=4。 解　①把方程y=x+写成3x-4y+1=0,由点到直线的距离公式得d==。 ②解法一:把方程y=6写成0·x+y-6=0,由点到直线的距离公式得d==8。 解法二:因为直线y=6平行于x轴,所以d=|6-(-2)|=8。 ③因为直线x=4平行于y轴,所以d=|4-3|=1。 (2)求过点M(-1,2),且与点A(2,3),B(-4,5)距离相等的直线l的方程。 解　解法一:当过点M(-1,2)的直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,恰好与A(2,3),B(-4,5)两点距离相等,故x=-1满足题意;当过点M(-1,2)的直线l的斜率存在时,设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0。由点A(2,3)与B(-4,5)到直线l的距离相等,得=,解得k=-,此时l的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0。综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0。 解法二:由题意得l∥AB或l过AB的中点,当l∥AB时,设直线AB的斜率为kAB,直线l的斜率为kl,则kl=kAB==-,此时直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0。当l过AB的中点(-1,4)时,直线l的方程为x=-1。综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0。 　　(1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题。 ①直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式。 ②点P在直线l上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用。 ③直线方程为Ax+By+C=0,当A=0或B=0时公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解。 (2)用待定系数法求直线方程时,首先考虑斜率不存在是否满足题意。 【变式训练】　已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求△ABC的面积。 解　设AB边上的高为h,则S△ABC=|AB|·h。因为|AB|==2,AB边上的高h就是点C到直线AB的距离,AB边所在直线的方程为=,即x+y-4=0,所以点C到直线AB的距离为h==。因此S△ABC=×2×=5。 类型二　两条平行直线之间的距离 　　【例2】　(1)已知两条直线3x+y-3=0和6x+my-1=0平行,求两条直线之间的距离。 解　由已知得=,所以m=2。将直线3x+y-3=0化为6x+2y-6=0,则两条平行直线之间的距离为d==。 (2)已知直线l与两直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y+1=0的距离相等,求l的方程。 解　设直线l的方程为2x-y+C=0,由题意,得=,解得C=2,所以直线l的方程为2x-y+2=0。 　　求两条平行直线之间的距离,一般是直接利用两条平行直线之间的距离公式,当直线l1:y=kx+b1,l2:y=kx+b2,且b1≠b2时,d=;当直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,且C1≠C2时,d=。但注意两条直线的方程中x,y的系数须对应相等。 【变式训练】　两平行直线l1,l2分别过P1(1,0),P2(0,5)两点,若l1与l2的距离为5,求两条直线的方程。 解　由