2.2.3 第2课时 两条直线的垂直 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教B版2019）

第2课时　两条直线的垂直 情境导入 课程标准 　　 过山车是一种富有刺激性的游乐设施。实际上,过山车的运动包含了许多数学、物理学原理。过山车的两条铁轨是永远平行的轨道,它们依靠一根根巨大且垂直于地面的钢筋支撑着。你能感受到过山车中的平行和垂直吗?两条直线的平行与垂直又用什么来刻画呢? 1.理解并掌握两条直线垂直的条件。 2.能根据已知条件判断两直线的垂直。 3.利用两条直线的垂直解决含参数的问题。 自主预习明新知 　 知识点一、几何法判定两条直线垂直 图示 对应关系 l1,l2的斜率都存在,分别为k1,k2,则l1⊥l2⇔k1k2=-1 l1与l2中的一条斜率不存在,另一条斜率为零,则l1与l2的位置关系是垂直 知识点二、向量法判断两条直线垂直 向量v1=(A1,B1)是直线l1的一个法向量,v2=(A2,B2)是直线l2的一个法向量,如图所示,l1与l2垂直的充要条件是v1与v2垂直。即l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0。 微提醒 l1⊥l2⇔k1k2=-1成立的前提条件是:①两条直线的斜率都存在;②k1≠0且k2≠0。 合作探究攻重难 　 类型一　两条直线垂直的判定 　　【例1】　判断下列各组中两条直线是否垂直。 (1)直线y=x的法向量为a=(-1,1),直线3x+3y-5=0的法向量为b=(3,3); (2)x+4y-7=0,5x-2y-5=0; (3)3x-y=0,x-3y=0; (4)直线l1经过点,,l2经过点0,-,。 解　(1)直线y=x的法向量为a=(-1,1),直线3x+3y-5=0的法向量为b=(3,3),a·b=-1×3+1×3=0,所以两条直线垂直。 (2)A1=1,B1=4,A2=5,B2=-2。因为A1A2+B1B2=1×5+4×(-2)=-3≠0,所以两直线不垂直。 (3)直线3x-y=0的斜率为k1=3,直线x-3y=0的斜率为k2=,k1k2=3×=1≠-1,所以两条直线不垂直。 (4)k1==-,k2==。因为k1k2≠-1,所以两条直线不垂直。 　　(1)判断两直线是否垂直的依据是:当这两条直线都有斜率的前提下,只需看它们的斜率之积是否等于-1即可,但应注意有一条直线与x轴垂直,另一条直线与x轴平行时,两直线也垂直。 (2)直接使用A1A2+B1B2=0判断两条直线垂直更有优势。 【变式训练】　判断下列两直线是否垂直。 (1)直线l1经过点A(3,4),B(3,7),直线l2经过点P(-2,4),Q(2,4); (2)直线l1的法向量为m=(-1,3),直线l2的法向量为n=(2,-3)。 解　(1)直线l1的斜率不存在,故直线l1与x轴垂直,直线l2的斜率为0,故直线l2与x轴平行,所以l1与l2垂直。 (2)直线l1的法向量为m=(-1,3),直线l2的法向量为n=(2,-3),m·n=-11≠0,所以两条直线不垂直。 类型二　两条直线垂直的应用 　　命题方向1:利用两条直线垂直解决含参数问题 　　【例2】　当a为何值时,直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直? 解　解法一:由题意,直线l1⊥l2。①若1-a=0,即a=1时,直线l1:3x-1=0与直线l2:5y+2=0显然垂直;②若2a+3=0,即a=-时,直线l1:x+5y-2=0与直线l2:5x-4=0不垂直;③若1-a≠0且2a+3≠0,则直线l1,l2的斜率k1,k2存在,k1=-,k2=-。当l1⊥l2时,k1k2=-1,即·=-1,所以a=-1。综上可知,当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2。 解法二:因为l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0,所以(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=±1,所以a=±1时,l1⊥l2。 　　解决此类问题有两种方法 (1)利用k1k2=-1,但要考虑斜率的存在性。 (2)利用A1A2+B1B2=0。 【变式训练】　直线(2-m)x+my+3=0与直线x-my-3=0垂直,则m的值为 1或-2 。  解析　由A1A2+B1B2=0知(2-m)×1+m×(-m)=0,所以m=1或m=-2。 　　命题方向2:利用两条直线垂直解决对称问题 　　【例3】　(1)点P(-3,4)关于直线x+y-2=0的对称点Q的坐标是 (B) A.(-2,1) B.(-2,5) C.(2,-5) D.(4,-3) 解析　设对称点Q的坐标为(a,b),由题意,得解得即Q(-2,5)。 (2)求直线m:2x+y-4=0关于直线n:3x+4y-1=0对称的直线b的方程。 解　解法一:设直线b上的动点P(x,y),直线m上的点Q(x0,4-2x0),且P,Q两点关于直线n:3x+4y-1=0对称,则有消去x0,得2