2.2.2 第2课时 直线的一般式方程 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教B版2019）

第2课时　直线的一般式方程 情境导入 课程标准 　　百福图,中国民间传统寓意字样。由一百多种不同的福字样印制成, 是以篆体为基础的同字异形图案,也是中国民间流传已久的福字图案。图中字体造型稳重、均齐、端庄,极有意趣和韵味,为广大中国劳动人民所喜爱。我们现在学习的直线方程也有多种形式,如点斜式、斜截式、两点式、截距式,它们有什么共同特点? 1.掌握直线的一般式方程。 2.了解关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)都表示直线,且直线方程都可以化为Ax+By+C=0的形式。 3.会进行直线方程不同形式的转化。 自主预习明新知 　 知识点一、直线的一般式方程与特殊直线 形式 条件 直线方程 应用范围 一般式 二元一次方程系数A,B,C的值满足A2+B2≠0 Ax+By+C=0 平面内的任何直线 特殊 直线 垂直于x轴且过点(a,0) (1)x=a(a≠0) (2)x=0(a=0) 斜率不存在 垂直于y轴且过点(0,b) (3)y=b(b≠0) (4)y=0(b=0) 斜率k=0 知识点二、直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 一般式 斜截式 截距式 Ax+By+C=0 (A2+B2≠0) y=-x- (B≠0) +=1 (ABC≠0) 微提醒 直线的一般式方程的结构特征 (1)方程是关于x,y的二元一次方程。 (2)方程中等号的左侧自左向右一般按x,y,常数的先后顺序排列。 (3)x的系数一般不为分数和负数。 (4)虽然直线方程的一般式有三个参数,但只需两个独立的条件即可求得直线的方程。 微思考 直线方程的一般式是否适合化成两点式和点斜式? 提示:由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的,而两点式和点斜式并不唯一,因此,通常情况下,一般式不化为两点式和点斜式。 合作探究攻重难 　 类型一　直线的一般式方程与其他形式的互化 　　【例1】　根据下列条件分别写出直线的方程并化为一般式方程。 (1)斜率是,在y轴上的截距是-2; (2)经过C(3,-1),D(-2,-1)两点; (3)经过点B(-2,2),倾斜角为30°; (4)过点A(3,0),且在两坐标轴上的截距和为5。 解　(1)由斜截式得直线方程为y=x-2,即x-2y-4=0。 (2)由C,D两点纵坐标相同,所以直线平行于x轴,得方程为y=-1,即y+1=0。 (3)因为倾斜角为30°,所以k=tan 30°=,由点斜式知直线方程为y-2=(x+2),即x-3y+2+6=0。 (4)设直线方程为+=1(a≠0且b≠0),a+b=5,=1,所以a=3,b=2,+=1,2x+3y-6=0。 　　在求直线方程时,要注意题目的要求,如果要求直线方程的一般式,则必须将所求结果化为Ax+By+C=0的形式,如果要求的结果是点斜式或斜截式,也必须将最后的结果转化为要求的形式。对于直线的一般式Ax+By+C=0(A,B不同时为零)化斜截式:①移项By=-Ax-C;②当B≠0时,得y=-x-,其中-是直线在y轴上的截距,当B≠0且A≠0时,令y=0,得x=-,它是直线在x轴上的截距。 【变式训练】　直线l与两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为2,两截距之差为3,求直线l的一般式方程。 解　设直线l在x轴,y轴上的截距分别为a,b,则由已知可得(且a>0,b>0)　①。当a≥b时,①可化为解得或(舍去),当a<b时,①可化为解得或(舍去)。所以直线l的截距式方程为+y=1或x+=1,化为一般式方程为x+4y-4=0或4x+y-4=0。 类型二　求直线的一般式方程 　　【例2】　已知直线l的一个方向向量为a=(3,1),求过点A(-2,1)且垂直于l的直线l'的一般式方程。 解　解法一:设P(x,y)为平面直角坐标系中任意一点,则P在l'上的充要条件为与a=(3,1)垂直。又因为=(x+2,y-1),所以(x+2)×3+y-1=0,整理得,直线l'的一般式方程为3x+y+5=0。 解法二:由已知a=(3,1)为直线l的一个方向向量,所以kl=,因为l⊥l',所以kl'=-3,又因为l'过点A(-2,1),故l'的方程为y-1=-3×(x+2),整理得3x+y+5=0为所求。 　　直线的方向向量与直线的法向量都与直线的斜率有着密切的联系。方向向量的纵坐标与横坐标的比值为直线的斜率、法向量的纵坐标与横坐标比值与斜率的乘积为-1。 【变式训练】　如果直线l截距为2,且直线l的方向向量为a=(1,-2),求直线l的方程。 解　因为a=(1,-2),所以k=-2,由斜截式方程知y=-2x+2,即2x+y-2=0。 类型三　直线的一般式方程的综合应用 　　【例3】　设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R)。 (1)若l在