2.2.2 第1课时 直线的点斜式方程、斜截式方程和两点式方程 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教B版2019）

2.2.2　直线的方程 第1课时　直线的点斜式方程、斜截式方程和两点式方程 情境导入 课程标准 　　 草长莺飞二月天, 拂堤杨柳醉春烟。 儿童散学归来早, 忙趁东风放纸鸢。 如果把风筝看作一个点,随着风筝的高低起伏,线的方向也会发生变化,如何从数学的角度解释线的变化情况,那就让我们进入本节课的学习吧! 1.了解由一点及斜率导出直线方程的过程,掌握直线方程的点斜式、斜截式和两点式。 2.理解点斜式、斜截式和两点式方程适用的范围。 3.会根据直线方程求斜率和截距。 自主预习明新知 　 知识点一、直线的点斜式方程 1.一般地,如果直线l上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,而且以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在直线l上,则称F(x,y)=0为直线l的方程,而直线l称为方程F(x,y)=0的直线。 2.直线的点斜式方程。 已知P0(x0,y0)是直线l上一点, (1)如果直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=x0。 (2)如果直线l的斜率存在且为k,设P(x,y)为直线l上不同于P0的点,则=k,即=k,化简可得y-y0=k(x-x0)①,因为方程①由直线上一点和直线的斜率确定,所以通常称①为直线的点斜式方程。 知识点二、直线的斜截式方程 一般地,当直线l既不是x轴也不是y轴时:若l与x轴的交点为(a,0),则称l在x轴上的截距为a;若l与y轴的交点为(0,b),则称l在y轴上的截距为b。一条直线在y轴上的截距简称为截距。如果已知直线的斜率为k,截距为b,则y=kx+b称为直线的斜截式方程。 知识点三、直线的两点式方程 方程名称 确定条件 直线方程 局限性 选择条件 两点式 已知两点A(x1,y1),B(x2,y2)及x1≠x2,y1≠y2 =(x1≠x2,y1≠y2) 不能表示与坐标轴平行或重合的直线 已知两个定点 截距式 在x轴、y轴上的截距分别为a和b +=1(a≠0,b≠0) 不能表示与坐标轴平行或重合,或过原点的直线 在x轴和y轴上的截距分别为a,b,a·b≠0 微提醒 要注意方程=和方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)形式不同,适用范围也不同。前者为分式形式方程,形式对称,但不能表示垂直于坐标轴的直线。后者为整式形式方程,适用于过任何两点的直线方程。 微思考 点斜式方程与斜截式方程的局限性是什么? 提示:不能表示与x轴垂直的直线。 合作探究攻重难 　 类型一　直线的点斜式方程 　　【例1】　求满足下列条件的直线的点斜式方程。 (1)过点P(-4,3),斜率k=-3; (2)过点P(3,-4),且与x轴平行; (3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点。 解　(1)因为直线过点P(-4,3),斜率k=-3,由直线方程的点斜式得直线方程为y-3=-3(x+4)。 (2)与x轴平行的直线,其斜率k=0,由直线方程的点斜式可得直线方程为y-(-4)=0×(x-3),即y+4=0。 (3)过点P(-2,3),Q(5,-4)的直线的斜率kPQ===-1。又因为直线过点P(-2,3),所以直线的点斜式方程为y-3=-(x+2)。 　　(1)求直线的点斜式方程的步骤:定点(x0,y0)→定斜率k→写出方程y-y0=k(x-x0)。 (2)点斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示过点P(x0,y0)的所有直线,但x=x0除外。 【变式训练】　求满足下列条件的直线方程。 (1)经过点(-5,2)且平行于y轴的直线方程; (2)求过点P(1,2)且与直线y=2x+1斜率相等的直线方程。 解　(1)因为直线平行于y轴,所以直线不存在斜率,所以方程为x=-5。 (2)由题意知,所求直线的斜率为2,且过点P(1,2),所以直线方程为y-2=2(x-1)。 类型二　直线的斜截式方程 　　【例2】　求满足下列条件的直线的斜截式方程。 (1)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3; (2)一直线过点A(0,2),它的倾斜角等于直线y=x的倾斜角的2倍。 解　(1)因为直线的倾斜角是60°,所以其斜率k=tan 60°=,因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3,所以直线在y轴上的截距是3或-3,所以所求直线的斜截式方程是y=x+3或y=x-3。 (2)因为直线y=x的斜率为,所以其倾斜角为30°,所以所求直线的倾斜角为60°,则所求直线的斜率k=。直线过点A(0,2),即直线在y轴上的截距为2。由斜截式易得直线的方程为y=x+2。 　　(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在。当b=0时,y=kx表示过原点的直线;当k=0时,y=b表示与x轴平行(或重合)的直线。 (2)截距不同于日常生活中的距离,截距是一个点的横(纵)坐标,是一个实数,可以是正数,也可以是负数