1.2.5 空间中的距离 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教B版2019）

1.2.5　空间中的距离 情境导入 课程标准 　　 如图,在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路,某人要在点A处修建一个蔬菜存储库。如何在公路上选择一个点,修一条公路到达A点,要想使这个路线长度理论上最短,应该如何设计? 1.掌握各种空间距离的概念。 2.能够灵活运用向量方法解决简单的空间距离问题。 自主预习明新知 　 知识点、空间中的距离 1.空间中两点之间的距离。 空间中两点之间的距离指的是空间中两点之间连线的线段长。 2.点到直线的距离。 给定空间中一条直线l及l外一点A,因为l与A能确定一个平面,所以过A可以作直线l的一条垂线段,这条垂线段的长称为点A到直线l的距离。 3.点到平面的距离。 (1)给定空间中一个平面α及α外一点A,过A可以作平面α的一条垂线段,这条垂线段的长称为点A到平面α的距离。 (2)点面距的求法:一般地,若A是平面α外一点,B是平面α内一点,n是平面α的一个法向量,则点A到平面α的距离d=。 4.相互平行的直线与平面之间的距离。 (1)当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离。 (2)线面距求法:如果直线l与平面α平行,n是平面α的一个法向量,A,B分别是l上和α内的点,则直线l与平面α之间的距离为d=。 5.相互平行的平面与平面之间的距离。 (1)当平面与平面平行时,一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离。 (2)面面距求法:如果平面α与平面β平行,n是平面β的一个法向量(当然也是平面α的一个法向量),A和B分别是平面α与平面β内的点,则平面α与平面β之间的距离为d=。 (3)与两个平行平面同时垂直的直线,称为这两个平面的公垂线。 (4)公垂线夹在平行平面间的部分,称为这两个平面的公垂线段。 微思考 在求两条异面直线的距离、直线与它的平行平面的距离、两个平行平面间的距离时,能转化为点到平面的距离求解吗? 提示:能。因为直线与平面平行、两个平面平行时,直线上的点或其中一个平面上的点到另一个平面的距离均相等,而两条异面直线可以构造线面平行,所以在求以上距离时均可转化为点到平面的距离。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　点到平面的距离 　　【例1】　正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别是C1C,D1A1,AB的中点,求点A到平面EFG的距离。 解　如图所示,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),G(2,1,0), 所以=(1,-2,1),=(2,-1,-1),=(0,-1,0)。设n=(x,y,z)是平面EFG的一个法向量,则所以所以x=y=z,可取n=(1,1,1)为平面EFG的一个法向量,所以点A到平面EFG的距离为d===。 　　点到平面的距离的求法 (1)定义法即直接求所作公垂线段的长。 (2)等体积转化法。 (3)利用法向量求一个点到平面的距离可用点到平面的距离公式d=。其中d为点P到平面的距离,A为平面内的一点,n为平面的法向量。 【变式训练】　在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面AB1D1的距离为 (C) A. B. C. D. 解析　利用=可求得点A1到截面AB1D1的距离为。 类型二　相互平行的直线与平面之间的距离 　　【例2】　在棱长为a的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CC1的中点。求直线AD到平面A1EFD1的距离。 解　如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),A(a,0,0),D1(0,0,a),A1(a,0,a),F,所以=(a,0,0),=(a,0,0),=,=0,a,。设n=(x,y,z)是平面A1EFD1的一个法向量,则所以取z=1得y=,则n=是平面A1EFD1的一个法向量,所以点D到平面A1EFD1的距离为d===a。又因为AD∥平面A1EFD1,所以直线AD到平面A1EFD1的距离是a。 　　求直线到它的平行平面的距离,先在直线上找到一点,然后转化为点到平面的距离求解,且这个点要选取适当,以求解最简为准则。 【变式训练】　在棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别为棱B1C1和C1D1的中点,则直线EF到平面B1D1D的距离为  。  解析　设B1D1中点为O,EF中点为K,则KO即为EF到平面B1D1D的距离,KO=C1O=。 类型三　相互平行的平面与平面之间的距离 【例3】　如图,正四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,侧棱AA1=3,底面边长AB=2,E,F分别为棱BC,B1C1的中点。 (1)求证:平面BD1F∥平面C1DE; (2)求平面BD1F与