（尖子生培优）专题09集合问题（容斥原理）-三年级数学思维拓展培优讲义（通用版）

（尖子生培优）专题09集合问题（容斥原理） 三年级数学思维拓展培优讲义（通用版） 有的放矢 集合问题，也是思维拓展中比较常见的题型之一，又称为容斥原理问题。 生活中计算事物数目时常常会遇到重复的数目，那么直接相加的结果比实际数目大了，要把重复计算过的数目减去才是实际数目，这样的数学问题被称为重叠问题（或容斥问题），解决重叠问题需要用到容斥原理。 解答容斥问题首先要确定采用怎样的分类标准，找到重复的事物及重复的次数，再运用容斥原理进行解题，解题时可根据题意画出示意图帮助思考。 容斥原理一：当两个计数事物数目有重复时，为了不重复地计数，应从他们的和中减去重复部分。如果用A和B分别表示两个计数事物的数目，用AB表示他们重复的数目，则有：总数＝A＋B－AB。 容斥原理二：如果采用三种不同的分类标准，用A、B、C分别表示三种分类事物的数目，用AB、BC、AC和ABC分别表示他们重复的数目，则有总数＝A＋B＋C－（AB＋BC＋AC）＋ABC 解题时可以从已知条件进行分析，画出集合图，计算总数时，为了不重复计算，应从它们的和中减去重叠部分。 能力巩固提升 1．某次英语考试由两部分组成，结果全班有人得满分，第一部分有人做对，第二部分有人有错，问两部分都有错的有多少人？ 2．一个班有学生48人，每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项．已知参加跑步的有37人，参加跳高的有40人，请问：这两项比赛都参加的学生有多少人？ 3．某校五年级有120名学生，订《故事大王》的有85人，订《儿童漫画》的有90人，订《优秀作文选》的有70人，同时订《故事大王》和《优秀作文选》的有62人，同时订《儿童漫画》和《优秀作文选》的有46人，同时订这三种杂志的有21人，此外，还有5名学生没有订任何杂志，问：恰好只订了《故事大王》和《儿童漫画》的有多少人？ 4．三（1）班在喜欢吃的水果中，每人至少选了一种．喜欢吃苹果的有20人，喜欢吃西瓜的有25人，两种都喜欢的有9人，三（1）班一共有几人？ 5．学校举行各年级学生画展，其中18幅不是六年级的，20幅不是五年级的，现在知道五、六年级共展出22幅画，问：其他年级共展出多少幅画？ 6．志诚中学5年级有200名学生踊跃申报学科培训班，已知申报奥数班的学生有140人，申报英语班的学生有120人，申报科技班的学生有60人，参加奥数和英语班的学生有60人，申报奥数和科技班的学生有40人，申报英语班和科技班的学生有30人，那么有多少人三个班都报了？ 7．三（4）班同学在本学期的期中考试中，有36人数学获得优秀，有29人语文获得优秀，有28人语文和数学都获得了优秀，同时有9人语文数学都没有获得优秀，三（4）班总共有多少学生？ 8．对全班同学调查发现，会游泳的有人，会打篮球的有人。两项都会的有人，两项都不会的有人。这个班一共有多少人？ 9．五（2）班有48人，在学校举行的社团活动中，参加舞蹈社的有29人，参加美术社的有25人，两个社团都没参加的有3人，既参加舞蹈社又参加美术社的有多少人？ 10．四（1）班有26位同学参加了“小记者”兴趣小组，有25位同学参加了“小主持人”兴趣小组，有6位同学既参加了“小记者”兴趣小组，又参加了“小主持人”兴趣小组，其余的5位同学参加了其他兴趣小组．四（1）班共有多少人？ 11．写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，每一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关，第二次把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？ 12．某一个班共有学生50人，参加文艺活动的有28人，参加体育活动的有30人，并且全班每人至少参加一项活动（仅限文艺活动或体育活动），请问：这个班这两项活动都参加的有多少人？ 13．在一根长木棍上，有三种刻度线，它们分别将木棍分成10等分、12等分、15等分．如果沿每条刻度线把木棍锯断，请问：木棍总共被锯成多少段？ 14．把长厘米和厘米的两根铁条焊接成一根铁条。已知焊接部分长厘米，焊接后这根铁条有多长？ 15．一个班有42人，参加合唱队的有30人，参加美术组的有25人，有5人什么都没有参加，两种小组都参加的有多少人？ 16．六（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球．全班喜欢打乒乓球或羽毛球的同学共有多少人？ 综合拔高拓展 17．佳园小学三年级共有180名学生，在一天里看中央台电视节目的有100人，看地方台电视节目的有110人，两个都看的有40人． （1）只看地方台，没看中央台的学生有多少人？ （2）地方台与中央台的节目都没看的学生有多少人？ 18．张宏、王刚、李立三人练习投篮球，一共投了100次，有43次没投进，已知张宏和王刚一共投进了32次，王刚和李立一共投进了46次，王刚投进了多少次？ 19．某班共有人，参加美术小组的有人，参加音