2.1 命题、定理、定义（4大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（苏教版2019必修第一册）

2.1 命题、定理、定义 一、命题 1、命题概念：在数学中，我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题。 【注意】 （1）不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题； （2）只有能够判断真假的陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句都不是命题； 3、命题的分类： 命题中，判断为真的语句叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题。 （1）判断命题真假的依据为常见的公理、定理、推论等； （2）一个命题不是真命题，就是假命题，不能模棱两可； （3）判断含参命题的真假，需要将命题转化为恒成立或存在性语句进行讨论研究。 4、判断一个命题真假的方法： 在数学中，要判断一个命题是假命题，只需要举一个反例即可；而要书名一个命题是真命题，要经过严格的逻辑推理，一般根据已有的知识（如数学中的定义、定理、公式等）判断。 二、命题的结构形式 1、命题的一般形式：“若，则”，其中叫做命题的条件，叫做命题的结论。 2、确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若，则”的形式. 三、公理、定理、定义 1、公理、公认的真命题称为公理，它不需要证明，可以作为推理的依据而直接使用。 2、定理：已经被证明为真的命题，可以作为推理的依据为直接使用。 3、定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或揭示所研究对象中对象的内涵，定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别 题型一 命题的概念理解 【例1】（2022秋·高一课时练习）下列语句是命题的是（ ） A．是一个大数 B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点 C．是一次函数吗 D． 【变式1-1】（2023·高一课时练习）下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（ ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 【变式1-2】（2022·高一课时练习）给出下列语句：①．②3比5大．③这是一棵大树．④求证：是无理数．⑤二次函数的图象太美啦！⑥4是集合中的元素．其中是命题的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-3】（2022秋·甘肃庆阳·高一校考阶段练习）唐代诗人王维，字摩诘，在后世有“诗佛”之称，北宋苏轼评曰 “味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗.”在王维《相思》这首诗中，哪一句可以作为命题（ ） A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷 D．此物最相思 【变式1-4】（2022秋·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）下列语句 ①考数学开心吗？ ②好好做作业，争取下次数学能及格 ③2不是素数 ④0是自然数 其中是命题的语句的序号有___________. 题型二 命题的结构形式 【例2】（2022·江苏·高一专题练习）命题“在三角形中，大边对大角”改写成“若，则q”的形式为（ ） A．在三角形中，若一边较大，则其对的角也较大 B．在三角形中，若一角较大，则其对的边也较大 C．若一个平面图形是三角形，则其大边对大角 D．若一个平面图形是三角形，则其大角对大边 【变式2-1】（2022秋·全国·高一专题练习）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． （1）6是12和18的公约数； （2）当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根； （3）平行四边形的对角线互相平分． 【变式2-2】（2022秋·全国·高一专题练习）将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）绝对值相等的数也相等； （2）矩形的对角线相等； （3）角平分线上的点到角两边的距离相等； （4）两角分别相等的两个三角形相似. 【变式2-3】（2022秋·全国·高一专题练习）写出下列命题的条件和结论. （1）如果两个三角形相似，那么这两个三角形的对应角相等； （2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角相等； （3）若a，b都是偶数，则是偶数； （4）若两个实数的积为正数，则这两个实数的符号相同； （5）若，则； （6）若，则方程有实数解. 题型三 命题的真假判断 【例3】（2022秋·高一课时练习）有下列命题：①所有人都喜欢吃苹果；②若，则；③空集是任何集合的真子集.其中真命题共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3-1】（2022秋·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考开学考试）下列命题中，真命题的是（ ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C．对角线相等的四边形是矩形